関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (2) $f(x)$ の増減、極値を調べて、$y = f(x)$ のグラフの概形を描く。$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を用いてよい。 (3) 座標平面上に2点 $A(t, f(t))$, $B(\log t, 0)$ をとる。$1 < t < e^{3/2}$ の範囲で $t$ が動くとき、$\triangle OAB$ の面積の最大値を求める。

はい、承知しました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べて、$y = f(x)$ のグラフの概形を描く。$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を用いてよい。

(3) 座標平面上に2点 $A(t, f(t))$, $B(\log t, 0)$ をとる。$1 < t < e^{3/2}$ の範囲で $t$ が動くとき、$\triangle OAB$ の面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x(3 - 2\log x)$ より、積の微分公式を使って、

$f'(x) = (x)'(3 - 2\log x) + x(3 - 2\log x)'$

$= 1(3 - 2\log x) + x(-2/x)$

$= 3 - 2\log x - 2$

$= 1 - 2\log x$

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べる。

$f'(x) = 1 - 2\log x = 0$ となる $x$ を求める。

$2\log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

増減表は以下のようになる。

$x$ | $0$ | ... | $\sqrt{e}$ | ...

---|---|---|---|---

$f'(x)$ | | + | 0 | -

$f(x)$ | | 増加 | 極大 | 減少

$x = \sqrt{e}$ のとき、$f(\sqrt{e}) = \sqrt{e}(3 - 2\log \sqrt{e}) = \sqrt{e}(3 - 2 \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{e}(3 - 1) = 2\sqrt{e}$

よって、$f(x)$ は $x = \sqrt{e}$ で極大値 $2\sqrt{e}$ をとる。

$x \to +0$ のとき、$f(x) = x(3 - 2\log x) = 3x - 2x\log x \to 0$ $(\because \lim_{x \to +0} x\log x = 0)$

(3) $\triangle OAB$ の面積の最大値を求める。

$A(t, f(t))$, $B(\log t, 0)$, $O(0, 0)$ であるから、$\triangle OAB$ の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} |0 \cdot 0 + \log t \cdot f(t) + t \cdot 0 - 0 \cdot f(t) - t \cdot 0 - \log t \cdot 0|$

$= \frac{1}{2} |\log t \cdot f(t)| = \frac{1}{2} |\log t \cdot t(3 - 2\log t)|$

$= \frac{1}{2} |\log t \cdot t(3 - 2\log t)|$

$1 < t < e^{3/2}$ より、$\log t > 0$ であるから、

$S = \frac{1}{2} t \log t (3 - 2\log t)$

$S = \frac{1}{2} t (3\log t - 2(\log t)^2)$

$u = \log t$ とおくと、$0 < u < \frac{3}{2}$ であり、$t = e^u$

$S = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2)$

$\frac{dS}{du} = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2) + \frac{1}{2} e^u (3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2 + 3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (-2u^2 - u + 3)$

$\frac{dS}{du} = 0$ となる $u$ を求めると、 $-2u^2 - u + 3 = 0$

$2u^2 + u - 3 = 0$

$(2u + 3)(u - 1) = 0$

$u = 1, -\frac{3}{2}$

$0 < u < \frac{3}{2}$ より、$u = 1$

$u = 1$ のとき、$t = e^1 = e$

$S = \frac{1}{2} e^1 (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) = \frac{1}{2} e(3 - 2) = \frac{1}{2}e$

$u$ | $0$ | ... | $1$ | ... | $3/2$

---|---|---|---|---|---

$\frac{dS}{du}$ | | + | 0 | - |

$S$ | | 増加 | 極大 | 減少 |

$t = e$ のとき、$S = \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

$\triangle OAB$ の面積の最大値は $\frac{e}{2}$