与えられた積分 $\int \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}}dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{x}{2} = u$ と変数変換を行います。すると、$\frac{1}{2}dx = du$ となり、$dx = 2du$ となります。

与えられた積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{\cos^2{(\frac{x}{2})}} dx = \int \frac{1}{\cos^2{u}} 2du = 2\int \frac{1}{\cos^2{u}} du$

ここで、$\frac{1}{\cos^2{u}} = \sec^2{u}$ であることと、$\int \sec^2{u}du = \tan{u} + C$ （$C$は積分定数） を利用すると、

$2\int \frac{1}{\cos^2{u}} du = 2 \int \sec^2{u} du = 2\tan{u} + C$

最後に、$u=\frac{x}{2}$ を代入して、$2\tan{u} + C = 2\tan{\frac{x}{2}} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$2\tan{\frac{x}{2}} + C$