関数 $y = \frac{1}{2} \log \frac{1-x}{1+x} (-1 < x < 1)$ について、以下の問いに答える。 (1) 対数の性質を用いて、関数を微分する。 (2) $x$ を $y$ の式で表す。 (3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2} \log \frac{1-x}{1+x} (-1 < x < 1)$ について、以下の問いに答える。

(1) 対数の性質を用いて、関数を微分する。

(2) $x$ を $y$ の式で表す。

(3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質を用いて微分する。

$y = \frac{1}{2} \log \frac{1-x}{1+x}$ を変形すると、

$y = \frac{1}{2} (\log (1-x) - \log (1+x))$

となる。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x})$

$= \frac{1}{2} (\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)})$

$= \frac{1}{2} (\frac{-1-x-1+x}{1-x^2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{-2}{1-x^2})$

$= \frac{-1}{1-x^2}$

$= \frac{1}{x^2-1}$

(2) $x$ を $y$ の式で表す。

$y = \frac{1}{2} \log \frac{1-x}{1+x}$

$2y = \log \frac{1-x}{1+x}$

$e^{2y} = \frac{1-x}{1+x}$

$e^{2y} (1+x) = 1-x$

$e^{2y} + xe^{2y} = 1-x$

$x + xe^{2y} = 1 - e^{2y}$

$x(1+e^{2y}) = 1-e^{2y}$

$x = \frac{1-e^{2y}}{1+e^{2y}}$

$x = \frac{e^{-y}-e^{y}}{e^{-y}+e^{y}}$

$x = - \frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}} = - \tanh(y)$

ここで、$\tanh(y)$は双曲線正接関数である。

(3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

(1)より$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2-1}$

(2)より、$x = \frac{1-e^{2y}}{1+e^{2y}}$

$\frac{dx}{dy} = \frac{-2e^{2y}(1+e^{2y}) - 2e^{2y}(1-e^{2y})}{(1+e^{2y})^2} = \frac{-2e^{2y} - 2e^{4y} - 2e^{2y} + 2e^{4y}}{(1+e^{2y})^2} = \frac{-4e^{2y}}{(1+e^{2y})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{(1+e^{2y})^2}{-4e^{2y}} = - \frac{(1+e^{2y})^2}{4e^{2y}} = - \frac{1+2e^{2y}+e^{4y}}{4e^{2y}} = - \frac{e^{-2y} + 2 + e^{2y}}{4}$

(1)から$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2-1}$なので、$x=-\tanh(y)$を代入すると、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tanh^2(y)-1} = \frac{1}{\frac{\sinh^2(y)}{\cosh^2(y)} - 1} = \frac{\cosh^2(y)}{\sinh^2(y) - \cosh^2(y)} = -\cosh^2(y)$

もしくは

(2)より、$x = \frac{1-e^{2y}}{1+e^{2y}}$ なので、

$x^2 = (\frac{1-e^{2y}}{1+e^{2y}})^2 = \frac{1 - 2e^{2y} + e^{4y}}{1 + 2e^{2y} + e^{4y}}$

$x^2 - 1 = \frac{1 - 2e^{2y} + e^{4y} - (1 + 2e^{2y} + e^{4y})}{1 + 2e^{2y} + e^{4y}} = \frac{-4e^{2y}}{1 + 2e^{2y} + e^{4y}} = \frac{-4e^{2y}}{(1 + e^{2y})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 - 1} = - \frac{(1 + e^{2y})^2}{4e^{2y}} = - \frac{1+2e^{2y}+e^{4y}}{4e^{2y}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-1}$

(2) $x = \frac{1-e^{2y}}{1+e^{2y}} = - \tanh(y)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2-1} = - \frac{(1 + e^{2y})^2}{4e^{2y}}$