次の関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。 (1) $f(x) = |x(x-2)|$ (2) $f(x) = |x^3|$

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。

(1) $f(x) = |x(x-2)|$

(2) $f(x) = |x^3|$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x(x-2)|$ について

$x \to 0$ のとき $x(x-2) \to 0$ であるので、場合分けをする。

$x$ が $0$ の近くでは、$x(x-2)$ は負になるので、

$x < 2$ のとき、

$|x(x-2)| = -x(x-2) = -x^2 + 2x$

$x \geq 2$ のとき、

$|x(x-2)| = x(x-2) = x^2 - 2x$

したがって、$x=0$ の近くでは、$f(x) = -x^2+2x$

$f'(x) = -2x+2$

$f'(0) = 2$

ここで、$x$ が $0$ より小さい場合と大きい場合で場合分けして、$x=0$における微分可能性を確認する。

右側極限：

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h(h-2)| - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{-h(h-2)}{h} = \lim_{h \to +0} (-h+2) = 2$

左側極限：

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h(h-2)| - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h(h-2)}{h} = \lim_{h \to -0} (-h+2) = 2$

右側極限と左側極限が一致するため、微分可能である。

(2) $f(x) = |x^3|$ について

$x^3$ は $x=0$ で符号が変わる。

$x \geq 0$ のとき、 $f(x) = x^3$

$x < 0$ のとき、 $f(x) = -x^3$

右側極限：

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h^3| - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h^3}{h} = \lim_{h \to +0} h^2 = 0$

左側極限：

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h^3| - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h^3}{h} = \lim_{h \to -0} -h^2 = 0$

右側極限と左側極限が一致するため、微分可能である。

3. 最終的な答え

(1) 微分可能である。

(2) 微分可能である。