与えられた定積分 $\int_1^2 \frac{dx}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_1^2 \frac{dx}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 2x - 1$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = 2$

より、

$dx = \frac{1}{2} du$

となります。

また、積分範囲も変わります。

$x = 1$ のとき $u = 2(1) - 1 = 1$

$x = 2$ のとき $u = 2(2) - 1 = 3$

したがって、積分は

$\int_1^3 \frac{1}{u\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^3 \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} du = \frac{1}{2} \int_1^3 u^{-\frac{3}{2}} du$

となります。

この積分を計算すると、

$\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right]_1^3 = \frac{1}{2} \left[ -2u^{-\frac{1}{2}} \right]_1^3 = - \left[ u^{-\frac{1}{2}} \right]_1^3 = - \left[ \frac{1}{\sqrt{u}} \right]_1^3$

$= - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{1}} \right) = - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

となります。

3. 最終的な答え

$1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$