問題は、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

この無限級数を計算するために、部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を以下のように分解します。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に $(2n-1)(2n+1)$ を掛けると、

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$1 = (2A + 2B)n + (A - B)$

係数比較により、

$2A + 2B = 0$

$A - B = 1$

最初の式から $A = -B$ であるため、$A - (-A) = 1$ となり、$2A = 1$。

したがって、$A = \frac{1}{2}$ であり、$B = -\frac{1}{2}$ です。

よって、

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

したがって、元の級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

ここで、部分和を考えます。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

$S_N = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\right)$

$S_N = 1 - \frac{1}{2N+1}$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2N+1} \to 0$ なので、

$\lim_{N \to \infty} S_N = 1$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$