$\int \sin(\pi x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \sin(\pi x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使用します。

$u = \pi x$ とおくと、$du = \pi dx$ となります。

したがって、$dx = \frac{1}{\pi} du$ です。

元の積分は次のようになります。

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\int \sin(\pi x) dx = \int \sin(u) \frac{1}{\pi} du = \frac{1}{\pi} \int \sin(u) du

$$$$

$\sin(u)$ の積分は $-\cos(u)$ であるため、

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\frac{1}{\pi} \int \sin(u) du = \frac{1}{\pi} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{\pi} \cos(u) + C

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ここで、$u = \pi x$ を代入すると、

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-\frac{1}{\pi} \cos(u) + C = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) + C

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3. 最終的な答え

$-\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) + C$