与えられた二次関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x + 1$ について、以下の2つの変化の割合を求め、さらに $h$ を0に近づけたときの $x=2$ におけるグラフの接線の傾きについて考察する問題です。 (1) $x$ が2から4まで変化するときの変化の割合 (2) $x$ が2から $2+h$ まで変化するときの変化の割合

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x + 1$ について、以下の2つの変化の割合を求め、さらに $h$ を0に近づけたときの $x=2$ におけるグラフの接線の傾きについて考察する問題です。

(1) $x$ が2から4まで変化するときの変化の割合

(2) $x$ が2から $2+h$ まで変化するときの変化の割合

2. 解き方の手順

(1) $x$ が2から4まで変化するときの変化の割合は、$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ で計算できます。

まず、$f(4)$ と $f(2)$ を計算します。

$f(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 1 = -8 + 16 + 1 = 9$

$f(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 4(2) + 1 = -2 + 8 + 1 = 7$

したがって、変化の割合は、

$\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{9 - 7}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1$

(2) $x$ が2から $2+h$ まで変化するときの変化の割合は、$\frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2}$ で計算できます。

$f(2+h) = -\frac{1}{2}(2+h)^2 + 4(2+h) + 1 = -\frac{1}{2}(4 + 4h + h^2) + 8 + 4h + 1 = -2 - 2h - \frac{1}{2}h^2 + 8 + 4h + 1 = -\frac{1}{2}h^2 + 2h + 7$

したがって、変化の割合は、

$\frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2} = \frac{(-\frac{1}{2}h^2 + 2h + 7) - 7}{h} = \frac{-\frac{1}{2}h^2 + 2h}{h} = -\frac{1}{2}h + 2$

$h$ を0に近づけると、$-\frac{1}{2}h + 2$ は 2 に近づきます。

これは $x=2$ におけるグラフの接線の傾きを表しています。

3. 最終的な答え

(1) $x$ が2から4まで変化するときの変化の割合：1

(2) $x$ が2から $2+h$ まで変化するときの変化の割合：$-\frac{1}{2}h + 2$

$x=2$ におけるグラフの接線の傾き：2