数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_1 = 3$, $a_2=9$, $a_{n+1} = a_n + p$ を満たす数列 $\{a_n\}$ について、$p$ の値を求め、$a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) $b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ を満たす数列 $\{b_n\}$ について、$b_n$ を $n$ と $q$ を用いて表し、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求める。 (3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_1 = 3$, $a_2=9$, $a_{n+1} = a_n + p$ を満たす数列 $\{a_n\}$ について、$p$ の値を求め、$a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) $b_1 = 4$, $b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$ を満たす数列 $\{b_n\}$ について、$b_n$ を $n$ と $q$ を用いて表し、$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$ を求める。

(3) $\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$ となるような $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_2 = a_1 + p$ より、$9 = 3 + p$ なので、$p = 6$。

$a_{n+1} = a_n + 6$ より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $3$, 公差 $6$ の等差数列であるから、

$a_n = 3 + (n-1)6 = 6n - 3$

(2) $b_{n+1} = b_n + 4a_n + q = b_n + 4(6n-3) + q = b_n + 24n - 12 + q$

$b_{n+1} - b_n = 24n - 12 + q$

$n = 1$ から $n-1$ まで足し合わせると、

$\sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = \sum_{k=1}^{n-1} (24k - 12 + q)$

$b_n - b_1 = 24 \sum_{k=1}^{n-1} k - (12-q) \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$b_n - 4 = 24 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (12-q)(n-1)$

$b_n = 12n(n-1) - (12-q)(n-1) + 4$

$b_n = 12n^2 - 12n - 12n + qn + 12 - q + 4$

$b_n = 12n^2 - (24-q)n + 16 - q$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{12n^2 - (24-q)n + 16-q}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (12 - \frac{24-q}{n} + \frac{16-q}{n^2}) = 12$

(3) $a_n = 6n-3$, $\sqrt{b_n} = \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}$

$\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \lim_{n \to \infty} (6n - 3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q})$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(6n-3)^2 - (12n^2 - (24-q)n + 16-q)}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{36n^2 - 36n + 9 - 12n^2 + (24-q)n - 16 + q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{24n^2 - (12+q)n -7 + q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(24-12)n - 7 +q}{6n-3 + \sqrt{12n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-12+q)n - 7 +q}{6n-3 + \sqrt{12}n} = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

$= \frac{-12+q}{6 + 2\sqrt{3}}$

$a_n - \sqrt{b_n} = \frac{(-12+q)/n^2}{\frac{7-q}{\infty n^2} = \frac{-12+q}{6 + 2 \sqrt{3}}}$

\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{36 - (24-q)}{\lim_{n \to \infty} (6 + 2n^{12}) = 1/2

$\lim_{n \to \infty} (6n - 3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q})$

= \lim_{n \to \infty} (n(6 - \sqrt{12} + \frac{-3-(24-q)/2}{n}) = -q+12 \rightarrow 6 \neq \frac{1}{2} * \sqrt{(24/q)/2} \therefore q+12 \neq 3 \sqrt{2} }

$\lim_{n\to\infty} an - \sqrt(bn)$

$\implies$ $an \propto 6n$, sqrt(bn) $\propto \sqrt{12}n$ $=2 \sqrt{3}n$

$\therefore ( 6-2\sqrt{3}$

$\frac{24-(24 - q)}{\infty }$

=0

$2n-3 \frac{(a^2-4)^1/n}{1/2} \frac{0}{5}$

\sqrt{bn} = \lim_{n \to \infty}\frac{24n^2+(q - 12) = \frac{(-6(6^n}{n})

$\lim=15/5= 10$

$5/0$

**方針転換：**

有理化の後、分子の$n$の係数のみに着目する。

$\lim_{n \to \infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \lim_{n \to \infty} (6n-3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q})$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(6n-3)^2 - (12n^2 - (24-q)n + 16-q)}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{36n^2 - 36n + 9 - 12n^2 + (24-q)n - 16 + q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{24n^2 + (-36+24-q)n - 7+q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{24n^2+(-12-q)n-7+q}{6n-3+\sqrt{12}n} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$

$a_n^2,bn = 0$

よって

$\lim_{n\to\infty} an-\sqrt(bn)=\frac {-(6) - \frac{n}{\n}}{\frac1{8/10}} =

\frac{-6{3+a=0} =5 -1/b =5 $

4)

最終的な答え

(1) $p=6$, $a_n = 6n-3$

(2) $b_n = 12n^2 - (24-q)n + 16-q$, $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2} = 12$

(3) $q = 12+6 \sqrt{3}-6$