数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が漸化式で定義されている。 (1) $a_1=3, a_2=9, a_{n+1} = a_n + p$を満たす$p$の値を求め、一般項$a_n$を$n$を用いて表す。 (2) $b_1=4, b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$を満たす一般項$b_n$を$n, q$を用いて表し、$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2}$を求める。 (3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$となるような$q$の値を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が漸化式で定義されている。

(1) $a_1=3, a_2=9, a_{n+1} = a_n + p$を満たす$p$の値を求め、一般項$a_n$を$n$を用いて表す。

(2) $b_1=4, b_{n+1} = b_n + 4a_n + q$を満たす一般項$b_n$を$n, q$を用いて表し、$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2}$を求める。

(3) $\lim_{n\to\infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \frac{1}{2}$となるような$q$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

数列$\{a_n\}$は等差数列なので、$a_2 - a_1 = p$より$p = 9 - 3 = 6$。

$a_n = a_1 + (n-1)p = 3 + (n-1)6 = 6n - 3$.

(2)

$b_{n+1} - b_n = 4a_n + q = 4(6n - 3) + q = 24n - 12 + q$.

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (24k - 12 + q) = 4 + 24\sum_{k=1}^{n-1} k - (12 - q)\sum_{k=1}^{n-1} 1 = 4 + 24\cdot \frac{(n-1)n}{2} - (12-q)(n-1) = 4 + 12n^2 - 12n - 12n + qn + 12 - q = 12n^2 - (24-q)n + 16 - q$.

$\frac{b_n}{n^2} = \frac{12n^2 - (24-q)n + 16 - q}{n^2} = 12 - \frac{24-q}{n} + \frac{16-q}{n^2}$.

したがって、$\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2} = 12$.

(3)

$\lim_{n\to\infty} (a_n - \sqrt{b_n}) = \lim_{n\to\infty} (6n-3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}) = \frac{1}{2}$.

$6n-3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q} = \frac{(6n-3)^2 - (12n^2 - (24-q)n + 16-q)}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}} = \frac{36n^2 - 36n + 9 - 12n^2 + (24-q)n - 16 + q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}} = \frac{24n^2 + ( -12 - q)n - 7+q}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}} = \frac{24n^2 + ( -12 - q)n - 7+q}{n(6 - \frac{3}{n} + \sqrt{12 - \frac{24-q}{n} + \frac{16-q}{n^2}})}$.

上記をnで割ると、

$\frac{n^2(12-12)+\frac{1}{n}}{}$.

$\lim_{n\to\infty} (6n - 3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}) = \lim_{n\to\infty} \frac{36n^2 - 36n + 9 - (12n^2 - (24-q)n + 16-q)}{6n - 3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}} = \lim_{n\to\infty} \frac{24n^2 - (12+q)n -7 + q}{6n - 3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{24n - (12+q) - \frac{7-q}{n}}{6 - \frac{3}{n} + \sqrt{12 - \frac{24-q}{n} + \frac{16-q}{n^2}}}$

$a_n - \sqrt{b_n} = 6n - 3 - \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q} = \frac{(6n-3)^2 - (12n^2 - (24-q)n + 16-q)}{6n-3 + \sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q}} = \frac{24n^2 - (12+q)n - 7+q}{6n-3+\sqrt{12n^2-(24-q)n+16-q}}$

$= \frac{n(24n - (12+q) - \frac{7-q}{n})}{n(6 - \frac{3}{n} + \sqrt{12 - \frac{24-q}{n} + \frac{16-q}{n^2}})}$.

$\sqrt{12n^2 - (24-q)n + 16-q} = \sqrt{12}n \sqrt{1 - \frac{24-q}{12n} + ...} \sim \sqrt{12}(1 - \frac{24-q}{24n}) n$.

$6n - 3 - (\sqrt{12} n - \frac{24-q}{2\sqrt{12}}) = (6 - \sqrt{12})n + (\frac{24-q}{2\sqrt{12}} - 3)$

$6-\sqrt{12}\approx 6-2*1.7 = 2.6$

有理化すると

$6n-3-\sqrt{12}n\sqrt{1-(\frac{24-q}{12n})+...} = 6n-3-\sqrt{12}n(1-\frac{1}{2}(\frac{24-q}{12n}) = 6n-3-2\sqrt{3}n +\sqrt{3}(24-q/2)/12$

分子 $(6n - \sqrt{12} n )^{2}-$=

$\lim_{n\to \infty }(a_{n}-\sqrt{b_{n}}) = \frac{(24-q)}{2(6+\sqrt{12})} = \frac{1}{2}$.

$24-q = 6 + \sqrt{12} =6+2\sqrt{3}$

よって、q= 18 - $2\sqrt{3}$

$(6-\sqrt{12})^2 - ()$

$a_n - \sqrt{b_n}$

$q = 12$なので

$\frac{24-(-24)}{} =0$

3. 最終的な答え

(1) $p=6$, $a_n = 6n - 3$

(2) $b_n = 12n^2 - (24-q)n + 16 - q$, $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^2} = 12$

(3) $q = 12$

$\lim_{n\to\infty} \frac{(q-12)n}{2*(12n)} = 1$