関数 $f(x) = \sin 2x + a \sin x$ が与えられ、$f(\frac{\pi}{3}) = 0$ である。 (1) 定数 $a$ の値を求めよ。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $f(x) = 0$ を解け。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin 2x + a \sin x$ が与えられ、$f(\frac{\pi}{3}) = 0$ である。

(1) 定数 $a$ の値を求めよ。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $f(x) = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) $f(\frac{\pi}{3}) = 0$ を用いて $a$ の値を求める。

$f(x) = \sin 2x + a \sin x$ に $x = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{2\pi}{3} + a \sin \frac{\pi}{3} = 0$

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{2} + a \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

$\frac{\sqrt{3}}{2} (1 + a) = 0$

$1 + a = 0$

$a = -1$

(2) $f(x) = 0$ を解く。

$a = -1$ を $f(x)$ に代入すると、

$f(x) = \sin 2x - \sin x = 0$

三角関数の倍角の公式より、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であるから、

$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $2 \cos x - 1 = 0$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$

$2 \cos x - 1 = 0$ のとき、$\cos x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $0 \le x < 2\pi$ は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $x = 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$