与えられた分数関数を、$\frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^{\infty} X^n$ の公式を利用して無限級数の形で表し、その無限級数が収束する $x$ の範囲を求める問題です。 (1) $\frac{1}{1-2x}$ (2) $\frac{1}{1-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた分数関数を、$\frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^{\infty} X^n$ の公式を利用して無限級数の形で表し、その無限級数が収束する $x$ の範囲を求める問題です。

(1) $\frac{1}{1-2x}$

(2) $\frac{1}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1-2x}$ の場合

公式の $X$ に $2x$ を代入します。

$\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$

この無限級数が収束するためには、 $|2x| < 1$ である必要があります。

したがって、 $|x| < \frac{1}{2}$、つまり $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{1-x^2}$ の場合

公式の $X$ に $x^2$ を代入します。

$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$

この無限級数が収束するためには、 $|x^2| < 1$ である必要があります。

したがって、$|x| < 1$、つまり $-1 < x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$, 収束範囲: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$, 収束範囲: $-1 < x < 1$