次の無限級数が収束するかどうかを判定し、収束する場合はその和を求めます。問題は4つありますが、ここでは(1)の問題、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-3)^n} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$を解きます。

1. 問題の内容

次の無限級数が収束するかどうかを判定し、収束する場合はその和を求めます。問題は4つありますが、ここでは(1)の問題、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(-3)^n} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$を解きます。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $a = 1$、公比 $r = -\frac{1}{3}$ の等比級数です。

等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ が収束するのは、$|r| < 1$ のときであり、その和は $\frac{a}{1-r}$ で求められます。

今回は、$|r| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$ であるため、この無限級数は収束します。

したがって、その和は、

$\frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

で求められます。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$