問題は2つあります。 問題1： 周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x| (-\pi \le x < \pi)$ で、$f(x+2\pi) = f(x)$ を満たす関数のフーリエ級数を求める問題です。 問題2： $\epsilon > 0$ とし、関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順に解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1：

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x| (-\pi \le x < \pi)$ で、$f(x+2\pi) = f(x)$ を満たす関数のフーリエ級数を求める問題です。

問題2：

$\epsilon > 0$ とし、関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$

のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：フーリエ級数を求める

関数 $f(x)$ のフーリエ級数は、

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

と表されます。ここで、$a_n$ と $b_n$ はフーリエ係数であり、次のように計算できます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx$

関数 $f(x) = |\sin x|$ は偶関数なので、$b_n = 0$ となります。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} (1+1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \cos nx dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos nx dx$

積和の公式 $\sin x \cos nx = \frac{1}{2} [\sin (n+1)x - \sin(n-1)x]$ を利用すると、

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin (n+1)x - \sin (n-1)x] dx = \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos(n+1)x}{n+1} + \frac{\cos(n-1)x}{n-1} \right]_0^{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(n+1)\pi}{n+1} + \frac{\cos(n-1)\pi}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right]$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right]$

$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right] = \frac{2}{\pi(n+1)}$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{-1}{n+1} + \frac{-1}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right]=0$

$n$が偶数のとき $a_n= \frac{2}{\pi} \frac{(n-1) - (n+1)}{n^2-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{n^2-1} = \frac{-4}{\pi(n^2-1)}$

従って，$n = 2k$ と置くと、

$a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2 - 1)}$

したがって、フーリエ級数は

$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} \cos 2kx$

問題2：フーリエ変換を求める

フーリエ変換の定義は、

$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-iux} dx$

与えられた $f(x)$ を代入すると、

$F(u) = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-iux} dx = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{-iux} dx = \frac{1}{2\epsilon} \left[ \frac{e^{-iux}}{-iu} \right]_{-\epsilon}^{\epsilon}$

$F(u) = \frac{1}{2\epsilon} \cdot \frac{e^{-iu\epsilon} - e^{iu\epsilon}}{-iu} = \frac{1}{2\epsilon} \cdot \frac{e^{iu\epsilon} - e^{-iu\epsilon}}{iu} = \frac{1}{2\epsilon} \cdot \frac{2i\sin(u\epsilon)}{iu} = \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{\epsilon u}$

ここで、$\epsilon u = t$ とおくと、$\epsilon = \frac{t}{u}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

3. 最終的な答え

問題1：

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4k^2-1)} \cos 2kx$

問題2：

$F(u) = \frac{\sin(\epsilon u)}{\epsilon u}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$