画像に示された3つの数式について、それぞれ可能な範囲で簡略化や変形を行います。 (10) $\frac{\cos x(1 + \sin x)}{\sin^2 x}$ (11) $\frac{2}{3x^2 + 2}$ (12) $\frac{1}{x^2 + 2x + 3}$

1. 問題の内容

画像に示された3つの数式について、それぞれ可能な範囲で簡略化や変形を行います。

(10) $\frac{\cos x(1 + \sin x)}{\sin^2 x}$

(11) $\frac{2}{3x^2 + 2}$

(12) $\frac{1}{x^2 + 2x + 3}$

2. 解き方の手順

(10)

分子を展開します。

$\frac{\cos x(1 + \sin x)}{\sin^2 x} = \frac{\cos x + \cos x \sin x}{\sin^2 x}$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$を用いることはここでは有効ではないため、このままにします。

$\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x \sin x}{\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} + \cot x$

$\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \cot x \csc x$

$\cot x \csc x + \cot x = \cot x (\csc x + 1) = \frac{\cos x}{\sin x} (\frac{1}{\sin x} + 1) = \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\sin^2 x}$

(11)

$\frac{2}{3x^2 + 2}$

特に簡略化や変形はできません。

(12)

$\frac{1}{x^2 + 2x + 3}$

分母を平方完成します。

$x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x+1)^2 + 2$

したがって、

$\frac{1}{x^2 + 2x + 3} = \frac{1}{(x+1)^2 + 2}$

3. 最終的な答え

(10) $\frac{\cos x (1 + \sin x)}{\sin^2 x}$

(11) $\frac{2}{3x^2 + 2}$

(12) $\frac{1}{(x+1)^2 + 2}$