画像に記載された数学の問題は、主に級数の収束・発散を判定する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 * **問4.8 (2)** $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^{\alpha}} \quad (\alpha > 0)$ の収束・発散を判定する。 * **問4.9 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$ の収束・発散を判定する。 * **問4.10 (1)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ の収束・発散を判定する。 * **問4.10 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$ の収束・発散を判定する。 * **問4.10 (4)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}$ の収束・発散を判定する。 * **問4.11 (1)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}$ が絶対収束することを示す。 * **問4.11 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$ が絶対収束することを示す。 * **問4.8 (3)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ の収束・発散を判定する。

1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題は、主に級数の収束・発散を判定する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

* **問4.8 (2)** $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\log n)^{\alpha}} \quad (\alpha > 0)$ の収束・発散を判定する。

* **問4.9 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$ の収束・発散を判定する。

* **問4.10 (1)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ の収束・発散を判定する。

* **問4.10 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$ の収束・発散を判定する。

* **問4.10 (4)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n+1}{3^n+1}$ の収束・発散を判定する。

* **問4.11 (1)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}$ が絶対収束することを示す。

* **問4.11 (2)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$ が絶対収束することを示す。

* **問4.8 (3)** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ の収束・発散を判定する。

2. 解き方の手順

以下に、それぞれの問題に対する解き方の手順を示します。

* **問4.8 (2)**:

積分判定法を使用します。関数 $f(x) = \frac{1}{x(\log x)^{\alpha}}$ は $x \ge 2$ で正で単調減少です。

積分 $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\log x)^{\alpha}} dx$ を計算します。$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となり、積分は $\int_{\log 2}^{\infty} \frac{1}{u^{\alpha}} du$ になります。

この積分は $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散します。したがって、元の級数も $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散します。

* **問4.9 (2)**:

$\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$ と変形できます。

$\frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} \sim \frac{1}{n(2\sqrt{n})} = \frac{1}{2n^{3/2}}$ と比較すると、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ は $p=3/2 > 1$ なので収束します。したがって、元の級数も収束します。

* **問4.10 (1)**:

比判定法を使用します。$a_n = \frac{2^n}{n!}$ とすると、$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} = \frac{2}{n+1}$ となります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1$ なので、級数は収束します。

* **問4.10 (2)**:

比判定法を使用します。$a_n = \frac{n}{3^n+1}$ より $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}+1}\cdot \frac{3^n+1}{n}=\frac{(n+1)(3^n+1)}{n(3^{n+1}+1)} \rightarrow \frac{1}{3} < 1$ なので収束する。

* **問4.10 (4)**:

比判定法を使用します。$a_n = \frac{2^n+1}{3^n+1}$ とすると、$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}+1}{3^{n+1}+1} \cdot \frac{3^n+1}{2^n+1} = \frac{(2^{n+1}+1)(3^n+1)}{(3^{n+1}+1)(2^n+1)}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{(2^{n+1}+1)(3^n+1)}{(3^{n+1}+1)(2^n+1)} = \frac{2}{3} < 1$ なので、級数は収束します。

* **問4.11 (1)**:

$|\frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}| = \frac{1}{n(n+1)}$ です。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ は収束します (部分分数分解により $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1$ と計算できます)。

したがって、元の級数は絶対収束します。

* **問4.11 (2)**:

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$ とおく。$|\sin \frac{n\pi}{12}| \leq 1$ であるから $|\frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}| \leq \frac{(n!)^2}{(2n)!}$。 比判定法を使う。$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)} = \frac{n+1}{4n+2} \rightarrow \frac{1}{4} < 1$。よって絶対収束する。

* **問4.8 (3)**:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ について、$\log n < \sqrt{n}$ が十分大きな $n$ に対して成り立つことを用いる。

すると、$\frac{\log n}{n^2} < \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$ となる。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ は収束するので、比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ も収束する。

3. 最終的な答え

* **問4.8 (2)**: $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散する。

* **問4.9 (2)**: 収束する。

* **問4.10 (1)**: 収束する。

* **問4.10 (2)**: 収束する。

* **問4.10 (4)**: 収束する。

* **問4.11 (1)**: 絶対収束する。

* **問4.11 (2)**: 絶対収束する。

* **問4.8 (3)**: 収束する。