関数 $z = f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ の点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ におけるベクトル $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 方向の方向微分係数を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ の点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ におけるベクトル $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 方向の方向微分係数を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x,y)$ の偏微分を計算します。

$f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{1 - x^2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{1 - x^2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \cdot (-2y) = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$

次に、点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f_y(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、方向ベクトル $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ を使って方向微分係数を計算します。

方向微分係数 $D_{\vec{u}}f(x,y) = f_x(x,y) \cdot u_1 + f_y(x,y) \cdot u_2$

$D_{\vec{u}}f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = f_x(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$

3. 最終的な答え

-1