1. 問題の内容
定積分 を計算します。
2. 解き方の手順
まず、被積分関数を展開します。
\begin{align*} (x+1)(x-3)^2 &= (x+1)(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x + x^2 - 6x + 9 \\ &= x^3 - 5x^2 + 3x + 9 \end{align*}
次に、この多項式を積分します。
\begin{align*} \int (x^3 - 5x^2 + 3x + 9) dx &= \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 9x + C \end{align*}
ここで、は積分定数です。
積分範囲は-1から3なので、定積分を計算します。
\begin{align*} \int_{-1}^3 (x^3 - 5x^2 + 3x + 9) dx &= \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 9x \right]_{-1}^3 \\ &= \left( \frac{3^4}{4} - \frac{5 \cdot 3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 9 \cdot 3 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{5 \cdot (-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 9 \cdot (-1) \right) \\ &= \left( \frac{81}{4} - 45 + \frac{27}{2} + 27 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 9 \right) \\ &= \frac{81}{4} - 18 + \frac{27}{2} - \frac{1}{4} - \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 9 \\ &= \frac{80}{4} - 9 + \frac{24}{2} - \frac{5}{3} \\ &= 20 - 9 + 12 - \frac{5}{3} \\ &= 23 - \frac{5}{3} \\ &= \frac{69 - 5}{3} \\ &= \frac{64}{3} \end{align*}