座標平面上の曲線 $y = \sqrt{x+4}$ と直線 $y = x+2$ と $x$軸で囲まれる図形を、$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $y = \sqrt{x+4}$ と直線 $y = x+2$ と $x$軸で囲まれる図形を、$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x+4}$ と $y = x+2$ の交点を求める。

$\sqrt{x+4} = x+2$

両辺を2乗すると、

$x+4 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x+3) = 0$

$x = 0, -3$

$x = 0$ のとき $y = \sqrt{0+4} = 2$

$x = -3$ のとき $y = -3+2 = -1$

したがって、交点は $(0, 2)$ のみ。

$y = \sqrt{x+4}$ より $x = y^2 - 4$

$y = x+2$ より $x = y-2$

$x$軸との交点は、$y = \sqrt{x+4}$ より $y=0$ のとき $x+4=0$, $x = -4$。

$y = x+2$ より $y=0$ のとき $x = -2$。

求める体積 $V$ は、$y$軸回転体の体積の公式を用いて、

$V = \pi \int_0^2 ( (y-2)^2 - (y^2-4)^2 ) dy$

$V = \pi \int_0^2 ( y^2 - 4y + 4 - (y^4 - 8y^2 + 16) ) dy$

$V = \pi \int_0^2 ( -y^4 + 9y^2 - 4y - 12 ) dy$

$V = \pi [ -\frac{y^5}{5} + 3y^3 - 2y^2 - 12y ]_0^2$

$V = \pi ( -\frac{32}{5} + 24 - 8 - 24 )$

$V = \pi ( -\frac{32}{5} - 8 )$

$V = \pi ( -\frac{32}{5} - \frac{40}{5} )$

$V = \pi ( -\frac{72}{5} )$

体積は正なので符号を反転する。

求める体積は

$\int_{-4}^{-2} \pi (x+2)^2 dx - \int_{-4}^{0} \pi(\sqrt{x+4})^2 dx$ではない。

$y = \sqrt{x+4}$ より、$x = y^2-4$

$y=x+2$より、$x = y-2$

$V = \int_0^2 \pi ((y-2)^2 - (y^2-4)^2)dy = \frac{72\pi}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{72\pi}{5}$