定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3+2x^2+4x+1}{(x^2+1)(x+1)} dx$ を計算し、結果を $\frac{\text{ネ}}{\text{ノ}} \pi + \text{ハ}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^3+2x^2+4x+1}{(x^2+1)(x+1)} dx$ を計算し、結果を $\frac{\text{ネ}}{\text{ノ}} \pi + \text{ハ}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x^3+2x^2+4x+1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}$ と置きます。

両辺に $(x^2+1)(x+1)$ を掛けると、

$x^3+2x^2+4x+1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+1)$

$x^3+2x^2+4x+1 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + C$

$x^3+2x^2+4x+1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + (B+C)$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$x^3$の係数: 1

$x^2$の係数: $A+C = 2$

$x$の係数: $A+B = 4$

定数項: $B+C = 1$

$A+C = 2$ と $B+C = 1$ より $A-B = 1$

$A+B = 4$ より、 $2A = 5$ なので $A = \frac{5}{2}$.

$B = 4 - A = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$

$C = 1 - B = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{x^3+2x^2+4x+1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}}{x^2+1} - \frac{\frac{1}{2}}{x+1} = \frac{5x+3}{2(x^2+1)} - \frac{1}{2(x+1)}$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{x^3+2x^2+4x+1}{(x^2+1)(x+1)} dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{5x+3}{2(x^2+1)} - \frac{1}{2(x+1)} \right) dx$

$= \frac{5}{2} \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx + \frac{3}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} dx$

$= \frac{5}{4} [\ln(x^2+1)]_{0}^{1} + \frac{3}{2} [\arctan(x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\ln(x+1)]_{0}^{1}$

$= \frac{5}{4} (\ln(2) - \ln(1)) + \frac{3}{2} (\arctan(1) - \arctan(0)) - \frac{1}{2} (\ln(2) - \ln(1))$

$= \frac{5}{4} \ln 2 + \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{5}{4} \ln 2 + \frac{3\pi}{8} - \frac{2}{4} \ln 2$

$= \frac{3}{4} \ln 2 + \frac{3}{8} \pi$

$\frac{\text{ネ}}{\text{ノ}} \pi + \text{ハ} = \frac{3}{8} \pi + \frac{3}{4} \ln 2$

問題の形式に合わせて答えを書くと

$\frac{3}{8}\pi + \frac{3}{4} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}\pi + \frac{3}{4} \ln 2$

ネ = 3, ノ = 8, ハ = (3/4)ln2

$\frac{3}{8} \pi + \frac{3}{4} \ln 2$

ネ=3

ノ=8

ハ=(3/4)ln2

与えられた形式では、ハは数字で表す必要があるので、積分結果は、$\frac{3}{8}\pi + \frac{3}{4} \ln 2$ です。ハは$\frac{3}{4} \ln 2$に対応します。もしハが整数でなければならない場合は問題文に誤りがある可能性があります。

最終的な答えは $\frac{3}{8} \pi + \frac{3}{4} \ln 2$

ネ=3

ノ=8

しかし、問題は $\frac{\text{ネ}}{\text{ノ}} \pi + \text{ハ}$ の形に表現することを求めているので、ハも数字で表す必要があります。近似値を計算すると $\frac{3}{4} \ln 2 \approx \frac{3}{4} \times 0.693 \approx 0.519$となります。

最終的な答え: ネ = 3, ノ = 8, ハ = (3/4)ln2

ネ=3

ノ=8

$\frac{3}{8}\pi + \frac{3}{4} \ln 2$