曲線 $y = f(x) = \sqrt{x^2 + x + 2}$ が $y^2 = x^2 + x + 2$ を満たすことを利用して、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x) = \sqrt{x^2 + x + 2}$ が $y^2 = x^2 + x + 2$ を満たすことを利用して、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y^2 = x^2 + x + 2$ を $x$ について微分します。

$y$ を $x$ の関数としてみなし、連鎖律（チェーンルール）を用います。

$2y \frac{dy}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 1}{2y}$

点 $(1, 2)$ における傾きを求めます。$x = 1$、$y = 2$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1) + 1}{2(2)} = \frac{3}{4}$

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表され、ここで $(x_1, y_1)$ は接点、 $m$ は接線の傾きです。

今回の場合は、$(x_1, y_1) = (1, 2)$、$m = \frac{3}{4}$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1)$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} + 2$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$