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与えられた関数 $z$ の2階偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ を計算します。 (1) $z = e^{xy}$ (2) $z = \log \sqrt{x^2 + y^2}$ (3) $z = \sin x \cos^2 y$ (4) $z = \arctan \frac{x}{y}$

解析学偏微分2階偏導関数偏微分方程式
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた関数 zz の2階偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, ∂2z∂y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} を計算します。
(1) z=exyz = e^{xy}
(2) z=log⁡x2+y2z = \log \sqrt{x^2 + y^2}
(3) z=sin⁡xcos⁡2yz = \sin x \cos^2 y
(4) z=arctan⁡xyz = \arctan \frac{x}{y}

2. 解き方の手順

各関数について、まず1階偏導関数を計算し、その結果を用いて2階偏導関数を計算します。
(1) z=exyz = e^{xy}
* ∂z∂x=yexy\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy}
* ∂z∂y=xexy\frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy}
* ∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2 e^{xy}
* ∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 e^{xy}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(xexy)=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(yexy)=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{xy}) = e^{xy} + xye^{xy}
(2) z=log⁡x2+y2=12log⁡(x2+y2)z = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)
* ∂z∂x=12⋅2xx2+y2=xx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}
* ∂z∂y=12⋅2yx2+y2=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}
* ∂2z∂x2=(x2+y2)−x(2x)(x2+y2)2=y2−x2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂y2=(x2+y2)−y(2y)(x2+y2)2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(yx2+y2)=−y(2x)(x2+y2)2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{x^2 + y^2}) = \frac{-y(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(xx2+y2)=−x(2y)(x2+y2)2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{x^2 + y^2}) = \frac{-x(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
(3) z=sin⁡xcos⁡2yz = \sin x \cos^2 y
* ∂z∂x=cos⁡xcos⁡2y\frac{\partial z}{\partial x} = \cos x \cos^2 y
* ∂z∂y=sin⁡x(2cos⁡y(−sin⁡y))=−2sin⁡xsin⁡ycos⁡y=−sin⁡xsin⁡2y\frac{\partial z}{\partial y} = \sin x (2 \cos y (-\sin y)) = -2 \sin x \sin y \cos y = - \sin x \sin 2y
* ∂2z∂x2=−sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\sin x \cos^2 y
* ∂2z∂y2=sin⁡x(2sin⁡2y−2cos⁡2y)=−2sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sin x (2 \sin^2 y - 2 \cos^2 y) = -2 \sin x \cos 2y
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(−sin⁡xsin⁡2y)=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-\sin x \sin 2y) = -\cos x \sin 2y
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(cos⁡xcos⁡2y)=cos⁡x(2cos⁡y(−sin⁡y))=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos x \cos^2 y) = \cos x (2 \cos y (-\sin y)) = -\cos x \sin 2y
(4) z=arctan⁡xyz = \arctan \frac{x}{y}
* ∂z∂x=11+(x/y)2⋅1y=1y⋅y2y2+x2=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y^2}{y^2 + x^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}
* ∂z∂y=11+(x/y)2⋅(−xy2)=−xy2⋅y2y2+x2=−xx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2} \cdot \frac{y^2}{y^2 + x^2} = -\frac{x}{x^2 + y^2}
* ∂2z∂x2=−y(2x)(x2+y2)2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{-y(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂y2=x(2y)(x2+y2)2=2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂x∂y=∂∂x(−xx2+y2)=−(x2+y2)−x(2x)(x2+y2)2=−y2−x2(x2+y2)2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{x}{x^2 + y^2}) = -\frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
* ∂2z∂y∂x=∂∂y(yx2+y2)=(x2+y2)−y(2y)(x2+y2)2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{x^2 + y^2}) = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}

3. 最終的な答え

(1)
∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2 e^{xy}
∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 e^{xy}
∂2z∂x∂y=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^{xy} + xye^{xy}
∂2z∂y∂x=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = e^{xy} + xye^{xy}
(2)
∂2z∂x2=y2−x2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂y2=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂x∂y=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂y∂x=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
(3)
∂2z∂x2=−sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\sin x \cos^2 y
∂2z∂y2=−2sin⁡xcos⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2 \sin x \cos 2y
∂2z∂x∂y=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\cos x \sin 2y
∂2z∂y∂x=−cos⁡xsin⁡2y\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -\cos x \sin 2y
(4)
∂2z∂x2=−2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂y2=2xy(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂x∂y=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}
∂2z∂y∂x=x2−y2(x2+y2)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}

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