$a > 1$ とする。2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線を $\ell$ とする。$\ell$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が 2 より大きくなるのは、$a > \Box$ のときである。$\Box$ を埋める。

1. 問題の内容

$a > 1$ とする。2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線を $\ell$ とする。$\ell$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が 2 より大きくなるのは、$a > \Box$ のときである。$\Box$ を埋める。

2. 解き方の手順

まず、2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線 $\ell$ の方程式を求める。

傾きは $\frac{\log a - 0}{a - 1} = \frac{\log a}{a - 1}$ であるから、直線 $\ell$ の方程式は

$y = \frac{\log a}{a - 1}(x - 1)$

と表せる。

$\ell$ と $y = \log x$ で囲まれた図形の面積 $S$ は、

$S = \int_1^a \left(\frac{\log a}{a - 1}(x - 1) - \log x\right) dx$

となる。ここで、積分を計算する。

$\int_1^a \frac{\log a}{a - 1}(x - 1) dx = \frac{\log a}{a - 1} \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^a = \frac{\log a}{a - 1} \left(\frac{a^2}{2} - a - \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{\log a}{a - 1} \left(\frac{a^2}{2} - a + \frac{1}{2}\right) = \frac{\log a}{a - 1} \frac{(a - 1)^2}{2} = \frac{a - 1}{2} \log a$

$\int_1^a \log x dx = [x \log x - x]_1^a = a \log a - a - (1 \log 1 - 1) = a \log a - a + 1$

したがって、

$S = \frac{a - 1}{2} \log a - (a \log a - a + 1) = \frac{a - 1}{2} \log a - a \log a + a - 1 = -\frac{a + 1}{2} \log a + a - 1$

$S > 2$ であるとき、

$-\frac{a + 1}{2} \log a + a - 1 > 2$

$-\frac{a + 1}{2} \log a + a - 3 > 0$

$a = e^2$ のとき

$-\frac{e^2 + 1}{2} \log e^2 + e^2 - 3 = -\frac{e^2 + 1}{2} \cdot 2 + e^2 - 3 = -e^2 - 1 + e^2 - 3 = -4 < 0$

$a = e^3$ のとき

$-\frac{e^3 + 1}{2} \log e^3 + e^3 - 3 = -\frac{e^3 + 1}{2} \cdot 3 + e^3 - 3 = -\frac{3}{2} e^3 - \frac{3}{2} + e^3 - 3 = -\frac{1}{2} e^3 - \frac{9}{2} < 0$

$a = e^4$ のとき

$-\frac{e^4 + 1}{2} \log e^4 + e^4 - 3 = -\frac{e^4 + 1}{2} \cdot 4 + e^4 - 3 = -2e^4 - 2 + e^4 - 3 = -e^4 - 5 < 0$

$f(a) = -\frac{a + 1}{2} \log a + a - 3$ とする。

$f'(a) = -\frac{1}{2} \log a - \frac{a + 1}{2} \cdot \frac{1}{a} + 1 = -\frac{1}{2} \log a - \frac{1}{2} - \frac{1}{2a} + 1 = -\frac{1}{2} \log a + \frac{1}{2} - \frac{1}{2a}$

$f'(a) = \frac{1}{2} (1 - \log a - \frac{1}{a})$

$a$ が十分大きいとき、$f'(a) < 0$ なので、$f(a)$ は減少関数。

$a = 8$ のとき

$-\frac{9}{2} \log 8 + 5 = -\frac{9}{2} \log 2^3 + 5 = -\frac{27}{2} \log 2 + 5 \approx -\frac{27}{2} (0.693) + 5 = -9.3555 + 5 = -4.3555 < 0$

$a = 9$ のとき

$-\frac{10}{2} \log 9 + 6 = -5 \log 3^2 + 6 = -10 \log 3 + 6 \approx -10 (1.099) + 6 = -10.99 + 6 = -4.99 < 0$

$a=10$ のとき、

$-\frac{11}{2}\log 10 + 7 = -5.5 \log 10 + 7$

常用対数で考えるなら、$\log_{10} 10 = 1$ なので、$-5.5 + 7 = 1.5 > 0$

$a=9$ のとき、$S<2$

$a=10$ のとき、$S>2$

3. 最終的な答え

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