## 1. 問題の内容

解析学偏微分合成関数偏微分公式
2025/7/14
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1. 問題の内容

問題は、合成関数の偏微分を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について、zu\frac{\partial z}{\partial u}zv\frac{\partial z}{\partial v} を計算します。
(1) z=x2+2y2z = x^2 + 2y^2, x=u+vx = u + v, y=uvy = uv
(2) z=tan1(yx)z = \tan^{-1}(\frac{y}{x}), x=u+2vx = u + 2v, y=2uvy = 2u - v
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2. 解き方の手順

合成関数の偏微分公式を利用します。
zu=zxxu+zyyu\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}
zv=zxxv+zyyv\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}
**(1) の場合**
まず、各偏微分を計算します。
zx=2x\frac{\partial z}{\partial x} = 2x
zy=4y\frac{\partial z}{\partial y} = 4y
xu=1\frac{\partial x}{\partial u} = 1
xv=1\frac{\partial x}{\partial v} = 1
yu=v\frac{\partial y}{\partial u} = v
yv=u\frac{\partial y}{\partial v} = u
次に、これらの結果を合成関数の偏微分公式に代入します。
zu=(2x)(1)+(4y)(v)=2x+4yv\frac{\partial z}{\partial u} = (2x)(1) + (4y)(v) = 2x + 4yv
xxyyuuvv で表すと、
zu=2(u+v)+4(uv)v=2u+2v+4uv2\frac{\partial z}{\partial u} = 2(u+v) + 4(uv)v = 2u + 2v + 4uv^2
zv=(2x)(1)+(4y)(u)=2x+4yu\frac{\partial z}{\partial v} = (2x)(1) + (4y)(u) = 2x + 4yu
xxyyuuvv で表すと、
zv=2(u+v)+4(uv)u=2u+2v+4u2v\frac{\partial z}{\partial v} = 2(u+v) + 4(uv)u = 2u + 2v + 4u^2v
**(2) の場合**
まず、各偏微分を計算します。
zx=11+(yx)2(yx2)=yx2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{-y}{x^2 + y^2}
zy=11+(yx)2(1x)=xx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2 + y^2}
xu=1\frac{\partial x}{\partial u} = 1
xv=2\frac{\partial x}{\partial v} = 2
yu=2\frac{\partial y}{\partial u} = 2
yv=1\frac{\partial y}{\partial v} = -1
次に、これらの結果を合成関数の偏微分公式に代入します。
zu=(yx2+y2)(1)+(xx2+y2)(2)=y+2xx2+y2\frac{\partial z}{\partial u} = (\frac{-y}{x^2 + y^2})(1) + (\frac{x}{x^2 + y^2})(2) = \frac{-y + 2x}{x^2 + y^2}
xxyyuuvv で表すと、
zu=(2uv)+2(u+2v)(u+2v)2+(2uv)2=2u+v+2u+4vu2+4uv+4v2+4u24uv+v2=5v5u2+5v2=vu2+v2\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{-(2u-v) + 2(u+2v)}{(u+2v)^2 + (2u-v)^2} = \frac{-2u+v+2u+4v}{u^2+4uv+4v^2 + 4u^2 -4uv +v^2} = \frac{5v}{5u^2 + 5v^2} = \frac{v}{u^2 + v^2}
zv=(yx2+y2)(2)+(xx2+y2)(1)=2yxx2+y2\frac{\partial z}{\partial v} = (\frac{-y}{x^2 + y^2})(2) + (\frac{x}{x^2 + y^2})(-1) = \frac{-2y - x}{x^2 + y^2}
xxyyuuvv で表すと、
zv=2(2uv)(u+2v)(u+2v)2+(2uv)2=4u+2vu2vu2+4uv+4v2+4u24uv+v2=5u5u2+5v2=uu2+v2\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{-2(2u-v) - (u+2v)}{(u+2v)^2 + (2u-v)^2} = \frac{-4u+2v - u-2v}{u^2+4uv+4v^2 + 4u^2 -4uv +v^2} = \frac{-5u}{5u^2 + 5v^2} = \frac{-u}{u^2 + v^2}
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3. 最終的な答え

(1)
zu=2u+2v+4uv2\frac{\partial z}{\partial u} = 2u + 2v + 4uv^2
zv=2u+2v+4u2v\frac{\partial z}{\partial v} = 2u + 2v + 4u^2v
(2)
zu=vu2+v2\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{v}{u^2 + v^2}
zv=uu2+v2\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{-u}{u^2 + v^2}

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