合成関数の偏微分公式を利用します。
∂u∂z=∂x∂z∂u∂x+∂y∂z∂u∂y ∂v∂z=∂x∂z∂v∂x+∂y∂z∂v∂y **(1) の場合**
まず、各偏微分を計算します。
∂x∂z=2x ∂y∂z=4y ∂u∂x=1 ∂v∂x=1 ∂u∂y=v ∂v∂y=u 次に、これらの結果を合成関数の偏微分公式に代入します。
∂u∂z=(2x)(1)+(4y)(v)=2x+4yv x と y を u と v で表すと、 ∂u∂z=2(u+v)+4(uv)v=2u+2v+4uv2 ∂v∂z=(2x)(1)+(4y)(u)=2x+4yu x と y を u と v で表すと、 ∂v∂z=2(u+v)+4(uv)u=2u+2v+4u2v **(2) の場合**
まず、各偏微分を計算します。
∂x∂z=1+(xy)21⋅(−x2y)=x2+y2−y ∂y∂z=1+(xy)21⋅(x1)=x2+y2x ∂u∂x=1 ∂v∂x=2 ∂u∂y=2 ∂v∂y=−1 次に、これらの結果を合成関数の偏微分公式に代入します。
∂u∂z=(x2+y2−y)(1)+(x2+y2x)(2)=x2+y2−y+2x x と y を u と v で表すと、 ∂u∂z=(u+2v)2+(2u−v)2−(2u−v)+2(u+2v)=u2+4uv+4v2+4u2−4uv+v2−2u+v+2u+4v=5u2+5v25v=u2+v2v ∂v∂z=(x2+y2−y)(2)+(x2+y2x)(−1)=x2+y2−2y−x x と y を u と v で表すと、 ∂v∂z=(u+2v)2+(2u−v)2−2(2u−v)−(u+2v)=u2+4uv+4v2+4u2−4uv+v2−4u+2v−u−2v=5u2+5v2−5u=u2+v2−u ##