与えられた関数 $y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ ($ \pi \leq \theta < 2\pi $) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。 また、$\sin{\theta} = -1$ ($ \pi \leq \theta < 2\pi $) を満たす$\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ ($\pi \leq \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

また、$\sin{\theta} = -1$ ($\pi \leq \theta < 2\pi$) を満たす$\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ を合成します。

$y = \sqrt{2} \sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$

$\pi \leq \theta < 2\pi$ より、$\pi + \frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}$

つまり、$\frac{5\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ の最大値は 1 で、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$ のとき。ただし、この値は範囲外なので、範囲内で$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$が1に最も近くなる点を考える。

$\frac{5\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ の範囲で $\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ は $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$に近いところで最大値を取る。しかし$\theta < 2\pi$なので，$\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ であることから，実際に $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$とはなりえない。

$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})} = 1$ となる$\theta + \frac{\pi}{4}$は存在しないので$\sin$の値が1に近くなるのは$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ 付近である。$\theta + \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$に近いところで考えると $\sin$の値が1に近くなるため，最大値は存在しない。

最小値を考える。

$\frac{5\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ の範囲で $\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ の最小値は $-1$ であり、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のとき。

したがって、$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$y$ の最小値は $\sqrt{2} \times (-1) = -\sqrt{2}$ で、$\theta = \frac{5\pi}{4}$ のとき。

問題2：

$\sin{\theta} = -1$ ($\pi \leq \theta < 2\pi$) を解く。

$\sin{\theta} = -1$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{3\pi}{2}$。

これは $\pi \leq \theta < 2\pi$ の範囲に含まれる。

3. 最終的な答え

問題1：

最大値：なし

最小値：$-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{5\pi}{4}$ のとき)

問題2：

$\theta = \frac{3\pi}{2}$