問題12.1(1): 関数 $f(x) = \frac{1}{1-2x}$ について、$f^{(n)}(x)$ および $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ を求めよ。 問題12.2(1): 分数関数 $\frac{1}{1-2x}$ を、式(12.17) $\frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^{\infty} X^n (|X| < 1)$ を利用して無限級数の形で表し、$x$ がどの範囲にあるときにその無限級数が収束するか答えよ。

1. 問題の内容

問題12.1(1): 関数 $f(x) = \frac{1}{1-2x}$ について、$f^{(n)}(x)$ および $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ を求めよ。

問題12.2(1): 分数関数 $\frac{1}{1-2x}$ を、式(12.17) $\frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^{\infty} X^n (|X| < 1)$ を利用して無限級数の形で表し、$x$ がどの範囲にあるときにその無限級数が収束するか答えよ。

2. 解き方の手順

**問題12.1(1)**

ステップ1: $f(x)$ の導関数をいくつか計算する。

$f(x) = (1-2x)^{-1}$

$f'(x) = (-1)(1-2x)^{-2}(-2) = 2(1-2x)^{-2}$

$f''(x) = 2(-2)(1-2x)^{-3}(-2) = 8(1-2x)^{-3}$

$f'''(x) = 8(-3)(1-2x)^{-4}(-2) = 48(1-2x)^{-4}$

ステップ2: 導関数の一般形を推測する。

$f^{(n)}(x) = 2^n n! (1-2x)^{-(n+1)}$ と推測できる。

ステップ3: 数学的帰納法で証明する。

n=1のとき、$f'(x) = 2^1 \cdot 1! (1-2x)^{-2} = 2(1-2x)^{-2}$ で成立。

n=kのとき、$f^{(k)}(x) = 2^k k! (1-2x)^{-(k+1)}$ が成立すると仮定する。

n=k+1のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} [2^k k! (1-2x)^{-(k+1)}] = 2^k k! (-(k+1))(1-2x)^{-(k+2)}(-2) = 2^{k+1} (k+1)! (1-2x)^{-(k+2)}$

となり、n=k+1でも成立する。よって、$f^{(n)}(x) = 2^n n! (1-2x)^{-(n+1)}$ が正しい。

ステップ4: $a_n$ を計算する。

$f^{(n)}(0) = 2^n n! (1-2\cdot0)^{-(n+1)} = 2^n n!$

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{2^n n!}{n!} = 2^n$

**問題12.2(1)**

ステップ1: 式(12.17)で $X = 2x$ とおく。

$\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$

ステップ2: 収束条件を求める。

$|X| < 1$ より $|2x| < 1$

$|x| < \frac{1}{2}$

したがって、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

**問題12.1(1)**

$f^{(n)}(x) = 2^n n! (1-2x)^{-(n+1)}$

$a_n = 2^n$

**問題12.2(1)**

$\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n x^n$

収束範囲: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$