定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ の値を求め、$\sqrt{ヒ-フ}$ の形で表す。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ の値を求め、$\sqrt{ヒ-フ}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sin^2 x}$ の不定積分を求める。$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ であり、$\csc^2 x$ の不定積分は $-\cot x$ である。したがって、

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = -\cot \frac{\pi}{4} - (-\cot \frac{\pi}{6}) = -\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\pi}{6}$

$\cot \frac{\pi}{4} = 1$ であり、$\cot \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ であるから、

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$

したがって、$\sqrt{3}-1 = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{4-2\sqrt{3}}$

しかし、問題の形に合わせると、$\sqrt{3}-1 = \sqrt{3} -1$ なので、そのまま$\sqrt{3}-1$とする。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}-1$