与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、指定された点における2次の項までのテーラー展開を求める問題です。 (1) $f(x, y) = \cos(x - 2y)$，点$(0, \pi)$ (2) $f(x, y) = \log(1 + xy)$，点$(1, 2)$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、指定された点における2次の項までのテーラー展開を求める問題です。

(1) $f(x, y) = \cos(x - 2y)$，点$(0, \pi)$

(2) $f(x, y) = \log(1 + xy)$，点$(1, 2)$

2. 解き方の手順

関数のテーラー展開は以下の式で与えられます。

$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) + \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)(x - a)^2 + f_{xy}(a, b)(x - a)(y - b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a, b)(y - b)^2$

ここで、$f_x$は$f$の$x$に関する偏微分、$f_y$は$f$の$y$に関する偏微分、$f_{xx}$は$f$の$x$に関する2階偏微分、$f_{yy}$は$f$の$y$に関する2階偏微分、$f_{xy}$は$f$の$x$と$y$に関する偏微分です。

(1) $f(x, y) = \cos(x - 2y)$，点$(0, \pi)$

$f(0, \pi) = \cos(0 - 2\pi) = 1$

$f_x(x, y) = -\sin(x - 2y)$

$f_x(0, \pi) = -\sin(0 - 2\pi) = 0$

$f_y(x, y) = 2\sin(x - 2y)$

$f_y(0, \pi) = 2\sin(0 - 2\pi) = 0$

$f_{xx}(x, y) = -\cos(x - 2y)$

$f_{xx}(0, \pi) = -\cos(0 - 2\pi) = -1$

$f_{xy}(x, y) = 2\cos(x - 2y)$

$f_{xy}(0, \pi) = 2\cos(0 - 2\pi) = 2$

$f_{yy}(x, y) = -4\cos(x - 2y)$

$f_{yy}(0, \pi) = -4\cos(0 - 2\pi) = -4$

したがって、

$f(x, y) \approx 1 + 0(x - 0) + 0(y - \pi) + \frac{1}{2}(-1)(x - 0)^2 + 2(x - 0)(y - \pi) + \frac{1}{2}(-4)(y - \pi)^2$

$f(x, y) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 + 2x(y - \pi) - 2(y - \pi)^2$

(2) $f(x, y) = \log(1 + xy)$，点$(1, 2)$

$f(1, 2) = \log(1 + 1 \cdot 2) = \log(3)$

$f_x(x, y) = \frac{y}{1 + xy}$

$f_x(1, 2) = \frac{2}{1 + 1 \cdot 2} = \frac{2}{3}$

$f_y(x, y) = \frac{x}{1 + xy}$

$f_y(1, 2) = \frac{1}{1 + 1 \cdot 2} = \frac{1}{3}$

$f_{xx}(x, y) = -\frac{y^2}{(1 + xy)^2}$

$f_{xx}(1, 2) = -\frac{2^2}{(1 + 1 \cdot 2)^2} = -\frac{4}{9}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{1 + xy - x y}{(1 + xy)^2} = \frac{1}{(1 + xy)^2}$

$f_{xy}(1, 2) = \frac{1}{(1 + 1 \cdot 2)^2} = \frac{1}{9}$

$f_{yy}(x, y) = -\frac{x^2}{(1 + xy)^2}$

$f_{yy}(1, 2) = -\frac{1^2}{(1 + 1 \cdot 2)^2} = -\frac{1}{9}$

したがって、

$f(x, y) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) + \frac{1}{2}(-\frac{4}{9})(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{9})(y - 2)^2$

$f(x, y) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) - \frac{2}{9}(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) - \frac{1}{18}(y - 2)^2$

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 + 2x(y - \pi) - 2(y - \pi)^2$

(2) $f(x, y) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x - 1) + \frac{1}{3}(y - 2) - \frac{2}{9}(x - 1)^2 + \frac{1}{9}(x - 1)(y - 2) - \frac{1}{18}(y - 2)^2$