与えられた3つの2変数関数について、マクローリン展開（原点周りのテイラー展開）を3次の項まで求める。 (1) $f(x, y) = \sin(x + y^2)$ (2) $f(x, y) = \frac{1-y}{\sqrt{1+x}}$ (3) $f(x, y) = e^{2x} \sin y$

1. 問題の内容

与えられた3つの2変数関数について、マクローリン展開（原点周りのテイラー展開）を3次の項まで求める。

(1) $f(x, y) = \sin(x + y^2)$

(2) $f(x, y) = \frac{1-y}{\sqrt{1+x}}$

(3) $f(x, y) = e^{2x} \sin y$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = \sin(x + y^2)$ のマクローリン展開

$\sin u$ のマクローリン展開は $\sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \dots$ である。

$u = x + y^2$ とすると、

$f(x, y) = \sin(x + y^2) = (x + y^2) - \frac{(x + y^2)^3}{3!} + \dots$

3次までの項を考えると、$f(x, y) \approx x + y^2 - \frac{x^3}{6}$

(2) $f(x, y) = \frac{1-y}{\sqrt{1+x}}$ のマクローリン展開

$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}}$ のマクローリン展開を求める。

$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$

$n = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$(1+x)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2}x^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{6}x^3 + \dots$

$(1+x)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \dots$

$f(x, y) = (1-y)(1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \dots) = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 - y + \frac{1}{2}xy - \frac{3}{8}x^2y + \frac{5}{16}x^3 y +\dots$

3次までの項を考えると、$f(x, y) \approx 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 - y + \frac{1}{2}xy - \frac{3}{8}x^2y$

(3) $f(x, y) = e^{2x} \sin y$ のマクローリン展開

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots$

$\sin y = y - \frac{y^3}{3!} + \dots = y - \frac{y^3}{6} + \dots$

$f(x, y) = (1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \dots)(y - \frac{y^3}{6} + \dots) = y + 2xy + 2x^2y + \frac{4}{3}x^3y - \frac{y^3}{6} - \frac{x y^3}{3} - \frac{x^2 y^3}{3} - \frac{2x^3 y^3}{9} + \dots$

3次までの項を考えると、$f(x, y) \approx y + 2xy + 2x^2y + \frac{4}{3}x^3y - \frac{y^3}{6}$

しかし、$x, y$の次数を足して3以下になるようにする必要があるため、 $f(x, y) \approx y + 2xy + 2x^2y + \frac{4}{3}x^3y-\frac{1}{6}y^3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x, y) \approx x + y^2 - \frac{x^3}{6}$

(2) $f(x, y) \approx 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 - y + \frac{1}{2}xy - \frac{3}{8}x^2y$

(3) $f(x, y) \approx y + 2xy + 2x^2y + \frac{4}{3}x^3y-\frac{1}{6}y^3$