$y = \sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$

##

1. 問題の内容

問題1：

$y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ ($\pi \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

問題2：

$\cos{\theta} = -1$ ($\pi \le \theta < 2\pi$)を解け。

##

2. 解き方の手順

### 問題1

1. **合成**: $y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$を合成します。

$y = \sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$

2. **範囲**: $\theta$の範囲は $\pi \le \theta < 2\pi$ なので、$\theta + \frac{\pi}{4}$ の範囲は $\pi + \frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}$、つまり $\frac{5\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$。

3. **最大値**: $\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ の最大値は 1 です。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$ は上記の範囲に含まれないため、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}+2\pi= \frac{5\pi}{2}$の場合を考えます。$\theta = \frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} > 2\pi$となり範囲外。

与えられた$\theta$の範囲では、$\sin{(\theta+\frac{\pi}{4})}$が1になることはありません。

$\frac{5\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ の範囲で、$\sin{(\theta+\frac{\pi}{4})}$が取りうる最大値に近いのは、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ に近いところです。$\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$の時、$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})} = \sin{\frac{5\pi}{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$の時、$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})} = \sin{\frac{9\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}-\epsilon$ ($\epsilon \to 0$)の時に、$y$は最大値$\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=1$を取ります。

しかし、$\theta < 2\pi$なので、$\theta = \frac{9\pi}{4}-\frac{\pi}{4} = 2\pi$となり、範囲外です。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ と $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$の間に最大値をとる点があるはずです。

$\frac{d}{d\theta}(\sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}) = \sqrt{2}\cos{(\theta + \frac{\pi}{4})} = 0$となるのは、$\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$の時。$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$。

この時、$y = \sqrt{2}\sin{\frac{3\pi}{2}} = -\sqrt{2}$。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{2}$の時は、$\theta = \frac{7\pi}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$となり、範囲外。

$\theta = \pi$の時、$y = \sin{\pi} + \cos{\pi} = 0 + (-1) = -1$。

$\theta$が$2\pi$に近づくとき、$y = \sin{\theta}+\cos{\theta}$は、$0+1=1$に近づきます。

4. **最小値**: $\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ の最小値は -1 です。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ の時です。

$\theta = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ は上記の範囲に含まれます。

この時、$y = \sqrt{2}(-1) = -\sqrt{2}$。

### 問題2

$\cos{\theta} = -1$ を満たす $\theta$ は $\pi$ です。

範囲 $\pi \le \theta < 2\pi$ に含まれています。

##

3. 最終的な答え

問題1：

* 最大値: 1 ($\theta$が$2\pi$に限りなく近づくとき)

* 最小値: $-\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{5\pi}{4}$のとき)

問題2：

* $\theta = \pi$