以下の2階線形非同次微分方程式を初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$ のもとで解きます。 $y'' - 3y' + 2y = 1$

## (5) の問題

1. 問題の内容

以下の2階線形非同次微分方程式を初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$ のもとで解きます。

$y'' - 3y' + 2y = 1$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' - 3y' + 2y = 0$ を解きます。特性方程式は $r^2 - 3r + 2 = 0$ となり、これは $(r - 1)(r - 2) = 0$ と因数分解できます。したがって、特性根は $r_1 = 1$ と $r_2 = 2$ です。同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{2x}$

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。右辺が定数なので、特殊解を $y_p(x) = A$ （$A$は定数）と仮定します。これを微分方程式に代入すると、 $0 - 0 + 2A = 1$ となり、$A = \frac{1}{2}$ となります。したがって、特殊解は $y_p(x) = \frac{1}{2}$ です。

微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{2x} + \frac{1}{2}$

次に、初期条件 $y(0) = 1$ と $y'(0) = 1$ を使って定数 $c_1$ と $c_2$ を決定します。

$y(0) = c_1e^0 + c_2e^{0} + \frac{1}{2} = c_1 + c_2 + \frac{1}{2} = 1$

$c_1 + c_2 = \frac{1}{2}$

$y'(x) = c_1e^x + 2c_2e^{2x}$

$y'(0) = c_1e^0 + 2c_2e^{0} = c_1 + 2c_2 = 1$

連立方程式

$c_1 + c_2 = \frac{1}{2}$

$c_1 + 2c_2 = 1$

を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、$c_2 = \frac{1}{2}$ となります。これを1番目の式に代入すると、$c_1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ となり、$c_1 = 0$ となります。

したがって、解は次のようになります。

$y(x) = 0e^x + \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$y(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$

## (6) の問題

1. 問題の内容

以下の2階線形非同次微分方程式を初期条件 $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$ のもとで解きます。

$y'' - 2y' + 3y = 1$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' - 2y' + 3y = 0$ を解きます。特性方程式は $r^2 - 2r + 3 = 0$ となります。解の公式より、$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$ となります。したがって、特性根は $r_1 = 1 + i\sqrt{2}$ と $r_2 = 1 - i\sqrt{2}$ です。同次方程式の一般解は次のようになります。

$y_h(x) = e^x(c_1\cos(\sqrt{2}x) + c_2\sin(\sqrt{2}x))$

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。右辺が定数なので、特殊解を $y_p(x) = A$ （$A$は定数）と仮定します。これを微分方程式に代入すると、 $0 - 0 + 3A = 1$ となり、$A = \frac{1}{3}$ となります。したがって、特殊解は $y_p(x) = \frac{1}{3}$ です。

微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^x(c_1\cos(\sqrt{2}x) + c_2\sin(\sqrt{2}x)) + \frac{1}{3}$

次に、初期条件 $y(0) = 1$ と $y'(0) = 0$ を使って定数 $c_1$ と $c_2$ を決定します。

$y(0) = e^0(c_1\cos(0) + c_2\sin(0)) + \frac{1}{3} = c_1 + \frac{1}{3} = 1$

$c_1 = \frac{2}{3}$

$y'(x) = e^x(c_1\cos(\sqrt{2}x) + c_2\sin(\sqrt{2}x)) + e^x(-c_1\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}x) + c_2\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}x))$

$y'(x) = e^x((c_1 + \sqrt{2}c_2)\cos(\sqrt{2}x) + (c_2 - \sqrt{2}c_1)\sin(\sqrt{2}x))$

$y'(0) = (c_1 + \sqrt{2}c_2) = 0$

$\frac{2}{3} + \sqrt{2}c_2 = 0$

$c_2 = -\frac{2}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}$

したがって、解は次のようになります。

$y(x) = e^x(\frac{2}{3}\cos(\sqrt{2}x) - \frac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}x)) + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$y(x) = e^x(\frac{2}{3}\cos(\sqrt{2}x) - \frac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}x)) + \frac{1}{3}$