関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、次の不等式を証明せよ。 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$ ただし、$n$ は自然数。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、次の不等式を証明せよ。

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$

ただし、$n$ は自然数。

2. 解き方の手順

まず、$x > 0$ で $f(x) = \frac{1}{x}$ は減少関数であることに注意する。

区間 $[k, k+1]$ において、$f(x) \le f(k)$ が成り立つ。したがって、

$\int_k^{k+1} f(x) dx \le \int_k^{k+1} f(k) dx = f(k) \int_k^{k+1} dx = f(k) [x]_k^{k+1} = f(k) (k+1 - k) = f(k) \cdot 1 = f(k)$.

これより、$\int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx \le \frac{1}{k}$ が成り立つ。

$k=1$ から $n$ まで足し合わせると、

$\sum_{k=1}^{n} \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$.

左辺を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx = \int_1^2 \frac{1}{x} dx + \int_2^3 \frac{1}{x} dx + \cdots + \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx = \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\log x]_1^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1) - 0 = \log(n+1)$.

したがって、$\log(n+1) \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ となる。

ゆえに、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \ge \log(n+1)$ が示された。

等号成立は$n=1$のみであるので、$n \ge 2$の時

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$.

3. 最終的な答え

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$