与えられた曲面上の指定された点における接平面の方程式を求める問題です。 (1) 曲面 $z = f(x, y) = x^2 - xy + 2y^2$、点 $(1, 2, 7)$ (2) 曲面 $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$、点 $(1, 2, 3)$

1. 問題の内容

与えられた曲面上の指定された点における接平面の方程式を求める問題です。

(1) 曲面 $z = f(x, y) = x^2 - xy + 2y^2$、点 $(1, 2, 7)$

(2) 曲面 $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$、点 $(1, 2, 3)$

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

で与えられます。ここで、$(x_0, y_0, z_0)$ は与えられた点であり、$f_x$と$f_y$はそれぞれ$x$と$y$に関する偏微分です。

(1) 曲面 $z = f(x, y) = x^2 - xy + 2y^2$、点 $(1, 2, 7)$

$f_x = 2x - y$

$f_y = -x + 4y$

$(x_0, y_0) = (1, 2)$における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 2) = 2(1) - 2 = 0$

$f_y(1, 2) = -1 + 4(2) = 7$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 7 = 0(x - 1) + 7(y - 2)$

$z - 7 = 7y - 14$

$z = 7y - 7$

(2) 曲面 $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}$、点 $(1, 2, 3)$

$f_x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + 4}}$

$f_y = \frac{2y}{2\sqrt{x^2 + y^2 + 4}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + 4}}$

$(x_0, y_0) = (1, 2)$における偏微分の値を計算します。

$f_x(1, 2) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

$f_y(1, 2) = \frac{2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 3 = \frac{1}{3}(x - 1) + \frac{2}{3}(y - 2)$

$z - 3 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}y - \frac{4}{3}$

$z = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3} + 3$

$z = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $z = 7y - 7$

(2) $z = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{4}{3}$