次の関数関係から $dz/dt$ を求めます。 (1) $z = x^2 - 3y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin 2t$ (2) $z = \frac{x - 2y}{x + 2y}$, $x = 2t + 1$, $y = t - 3$

1. 問題の内容

次の関数関係から $dz/dt$ を求めます。

(1) $z = x^2 - 3y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin 2t$

(2) $z = \frac{x - 2y}{x + 2y}$, $x = 2t + 1$, $y = t - 3$

2. 解き方の手順

(1)

$z = x^2 - 3y^2$, $x = \cos t$, $y = \sin 2t$

連鎖律を用いて $dz/dt$ を計算します。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -6y$

次に、$x$ と $y$ の $t$ に関する微分を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2\cos 2t$

これらを連鎖律の式に代入します。

$\frac{dz}{dt} = (2x)(-\sin t) + (-6y)(2\cos 2t) = -2x\sin t - 12y\cos 2t$

$x$ と $y$ を $t$ で表すと、

$\frac{dz}{dt} = -2(\cos t)\sin t - 12(\sin 2t)\cos 2t$

$\frac{dz}{dt} = -2\cos t\sin t - 12\sin 2t\cos 2t = -\sin 2t - 6\sin 4t$

(2)

$z = \frac{x - 2y}{x + 2y}$, $x = 2t + 1$, $y = t - 3$

$x$ と $y$ を $z$ に代入すると、

$z = \frac{(2t + 1) - 2(t - 3)}{(2t + 1) + 2(t - 3)} = \frac{2t + 1 - 2t + 6}{2t + 1 + 2t - 6} = \frac{7}{4t - 5}$

$z$ を $t$ で微分します。

$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{7}{4t - 5}\right) = 7\frac{d}{dt} (4t - 5)^{-1} = 7(-1)(4t - 5)^{-2}(4) = -\frac{28}{(4t - 5)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dt} = -\sin 2t - 6\sin 4t$

(2) $\frac{dz}{dt} = -\frac{28}{(4t - 5)^2}$