放物線 $y = 2x^2$ をCとする。点(1,4)を通る直線 $l$ がCと2点で交わっている。Cと $l$ の2つの交点のx座標を $\alpha, \beta$ ($ \alpha > \beta$) とするとき、 $l$ の傾きを $a$ とおく。以下の問いに答える。 (1) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha - \beta$ を $a$ で表す。 (2) (1)の $a$ の値を変化させるとき、Cと $l$ で囲まれる部分の面積が最小となるときの $a$ の値と、その最小値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ をCとする。点(1,4)を通る直線 $l$ がCと2点で交わっている。Cと $l$ の2つの交点のx座標を $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$) とするとき、 $l$ の傾きを $a$ とおく。以下の問いに答える。

(1) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha - \beta$ を $a$ で表す。

(2) (1)の $a$ の値を変化させるとき、Cと $l$ で囲まれる部分の面積が最小となるときの $a$ の値と、その最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点(1,4)を通る傾き $a$ の直線 $l$ の方程式は、

$y - 4 = a(x-1)$

$y = ax - a + 4$

放物線C: $y = 2x^2$ と直線 $l$ の交点のx座標は、以下の2次方程式の解である。

$2x^2 = ax - a + 4$

$2x^2 - ax + a - 4 = 0$

この2次方程式の解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{a}{2}$

$\alpha \beta = \frac{a-4}{2}$

$\alpha - \beta = \sqrt{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - 4\frac{a-4}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{4} - 2(a-4)} = \sqrt{\frac{a^2}{4} - 2a + 8} = \sqrt{\frac{a^2 - 8a + 32}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 - 8a + 32}}{2} = \frac{\sqrt{(a-4)^2 + 16}}{2}$

(2)

放物線Cと直線 $l$ で囲まれる部分の面積をSとすると、

$S = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx = \int_{\beta}^{\alpha} -2(x-\alpha)(x-\beta) dx = \frac{2}{6} (\alpha - \beta)^3 = \frac{1}{3} (\alpha - \beta)^3$

$\alpha - \beta = \frac{\sqrt{(a-4)^2 + 16}}{2}$ より、

$S = \frac{1}{3} (\frac{\sqrt{(a-4)^2 + 16}}{2})^3 = \frac{1}{3} \frac{((a-4)^2 + 16)^{3/2}}{8} = \frac{1}{24} ((a-4)^2 + 16)^{3/2}$

$S$ が最小となるのは、 $(a-4)^2$ が最小となるときである。 $(a-4)^2 \ge 0$ より、 $a=4$ のとき、 $(a-4)^2 = 0$ となり、$S$ は最小値をとる。

$S_{min} = \frac{1}{24} (16)^{3/2} = \frac{1}{24} (4^2)^{3/2} = \frac{1}{24} (4^3) = \frac{64}{24} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = \frac{a}{2}$

$\alpha \beta = \frac{a-4}{2}$

$\alpha - \beta = \frac{\sqrt{(a-4)^2 + 16}}{2}$

$a = 4$ のとき、最小値 $\frac{8}{3}$ をとる。

ア: $a/2$

イ: $(a-4)/2$

ウ: $\frac{\sqrt{(a-4)^2+16}}{2}$

エ: 4

オ: $8/3$