放物線 $C: y = 2x^2$ と点 $(1, 4)$ を通る直線 $l$ が2点で交わっている。(1) $C$ と $l$ の2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ (ただし $\alpha > \beta$) とする。$l$ の傾きを $a$ とおくと、$\alpha + \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha - \beta$ を $a$ で表す。(2) (1) の $a$ の値を変化させるとき、$C$ と $l$ で囲まれる部分の面積が最小となる $a$ の値と、その時の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = 2x^2$ と点 $(1, 4)$ を通る直線 $l$ が2点で交わっている。(1) $C$ と $l$ の2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ (ただし $\alpha > \beta$) とする。$l$ の傾きを $a$ とおくと、$\alpha + \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha - \beta$ を $a$ で表す。(2) (1) の $a$ の値を変化させるとき、$C$ と $l$ で囲まれる部分の面積が最小となる $a$ の値と、その時の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ は点 $(1, 4)$ を通るので、$l$ の方程式は

$y = a(x - 1) + 4 = ax - a + 4$

放物線 $C$ と直線 $l$ の交点の $x$ 座標は、$2x^2 = ax - a + 4$ の解である。

$2x^2 - ax + a - 4 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{a}{2}$

$\alpha\beta = \frac{a - 4}{2}$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\frac{a}{2})^2 - 4(\frac{a - 4}{2}) = \frac{a^2}{4} - 2a + 8 = \frac{1}{4}(a^2 - 8a + 32) = \frac{1}{4}((a - 4)^2 + 16)$

$\alpha > \beta$ より、$\alpha - \beta > 0$ なので

$\alpha - \beta = \sqrt{\frac{1}{4}((a - 4)^2 + 16)} = \frac{1}{2}\sqrt{(a - 4)^2 + 16}$

(2)

$C$ と $l$ で囲まれる部分の面積 $S$ は

$S = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx = \int_{\beta}^{\alpha} (-2x^2 + ax - a + 4) dx$

$2x^2 - ax + a - 4 = 0$ の解が $\alpha, \beta$ なので

$S = -2 \int_{\beta}^{\alpha} (x - \alpha)(x - \beta) dx = -2 (-\frac{1}{6}) (\alpha - \beta)^3 = \frac{1}{3} (\alpha - \beta)^3$

$\alpha - \beta = \frac{1}{2}\sqrt{(a - 4)^2 + 16}$ より、

$S = \frac{1}{3} (\frac{1}{2}\sqrt{(a - 4)^2 + 16})^3 = \frac{1}{24} ((a - 4)^2 + 16)^{\frac{3}{2}}$

$S$ を最小にする $a$ は $a = 4$ のときで、

$S_{min} = \frac{1}{24} (16)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{24} (4^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{24} (4^3) = \frac{64}{24} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = \frac{a}{2}$

$\alpha\beta = \frac{a - 4}{2}$

$\alpha - \beta = \frac{\sqrt{(a - 4)^2 + 16}}{2}$

$a = 4$ のとき最小値 $\frac{8}{3}$ をとる。