与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

各関数の微分を個別に計算します。

(1) $y = e^{2x-3}$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = 2x - 3$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x-3}$

(2) $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = -\frac{x^2}{2}$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-x) = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$

(3) $y = (e^{-x} + 2)^3$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = e^{-x} + 2$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (-e^{-x}) = -3e^{-x}(e^{-x} + 2)^2$

(4) $y = \sqrt{e^x + e^{-x}}$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = e^x + e^{-x}$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} \cdot (e^x - e^{-x}) = \frac{e^x - e^{-x}}{2\sqrt{e^x + e^{-x}}}$

(5) $y = xe^{1-x}$ の微分

積の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{1-x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{1-x}) = 1 \cdot e^{1-x} + x \cdot (-e^{1-x}) = e^{1-x} - xe^{1-x} = (1-x)e^{1-x}$

(6) $y = \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}$ の微分

商の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(e^{2x} + 1) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) - e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x} + 1)}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{(e^{2x} + 1)(2e^{2x}) - e^{2x}(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - 2e^{4x}}{(e^{2x} + 1)^2} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

(7) $y = \log(1 + e^{2x})$ の微分

合成関数の微分法を用います。$u = 1 + e^{2x}$ とおくと、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (2e^{2x}) = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}}$

(8) $y = \log\left|\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right|$ の微分

$u = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$とおくと、$y = \log|u|$。

まず、$\frac{du}{dx} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \cdot \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})} = \frac{4}{e^{2x} - e^{-2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x-3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -3e^{-x}(e^{-x} + 2)^2$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - e^{-x}}{2\sqrt{e^x + e^{-x}}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = (1-x)e^{1-x}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{e^{2x} - e^{-2x}}$