与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(2x+3)^2}{(x-1)^3}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の微分が $y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ で与えられるというものです。

まず、$u(x) = (2x+3)^2$ と $v(x) = (x-1)^3$ を定義します。

次に、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算します。

$u(x) = (2x+3)^2$ の微分は、連鎖律を用いて計算します。

$u'(x) = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3) = 8x + 12$

$v(x) = (x-1)^3$ の微分も、連鎖律を用いて計算します。

$v'(x) = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$

次に、商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(8x+12)(x-1)^3 - (2x+3)^2 \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}$

$(x-1)^2$ を共通因子としてくくり出すと、

$y' = \frac{(x-1)^2 [(8x+12)(x-1) - 3(2x+3)^2]}{(x-1)^6}$

$y' = \frac{(8x+12)(x-1) - 3(4x^2+12x+9)}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{8x^2 - 8x + 12x - 12 - 12x^2 - 36x - 27}{(x-1)^4}$

$y' = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-4x^2 - 32x - 39}{(x-1)^4}$