$a$ を正の実数とする。関数 $f(x) = e^{a(x+1)} - ax$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の最小値を求めよ。 (2) 原点から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求めよ。 (3) この曲線と $y$ 軸、および (2) で求めた接線によって囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求めよ。 (4) $S(a)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。関数 $f(x) = e^{a(x+1)} - ax$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の最小値を求めよ。

(2) 原点から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求めよ。

(3) この曲線と $y$ 軸、および (2) で求めた接線によって囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求めよ。

(4) $S(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の最小値を求める。

$f'(x) = a e^{a(x+1)} - a = a(e^{a(x+1)} - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $e^{a(x+1)} = 1$ のとき。つまり $a(x+1) = 0$ より $x = -1$ 。

$x < -1$ のとき $a(x+1) < 0$ なので $e^{a(x+1)} < 1$ より $f'(x) < 0$ 。

$x > -1$ のとき $a(x+1) > 0$ なので $e^{a(x+1)} > 1$ より $f'(x) > 0$ 。

したがって、$x = -1$ で $f(x)$ は最小値をとる。

$f(-1) = e^{a(-1+1)} - a(-1) = e^0 + a = 1 + a$

(2) 原点から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点は $(t, f(t)) = (t, e^{a(t+1)} - at)$ 。

接線の傾きは $f'(t) = a e^{a(t+1)} - a$ 。

接線の方程式は $y - (e^{a(t+1)} - at) = (a e^{a(t+1)} - a)(x - t)$ 。

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 - (e^{a(t+1)} - at) = (a e^{a(t+1)} - a)(0 - t)$

$- e^{a(t+1)} + at = - a t e^{a(t+1)} + a t$

$e^{a(t+1)} = a t e^{a(t+1)}$

$e^{a(t+1)} > 0$ より $a t = 1$ 。 $a > 0$ より $t = \frac{1}{a}$ 。

接点は $(\frac{1}{a}, e^{a(\frac{1}{a}+1)} - a \cdot \frac{1}{a}) = (\frac{1}{a}, e^{1+a} - 1)$ 。

接線の傾きは $f'(\frac{1}{a}) = a e^{a(\frac{1}{a}+1)} - a = a e^{1+a} - a$ 。

接線の方程式は $y - (e^{1+a} - 1) = (a e^{1+a} - a)(x - \frac{1}{a})$

$y = (a e^{1+a} - a) x - e^{1+a} + 1 + e^{1+a} - 1 = (a e^{1+a} - a) x$

(3) 曲線と $y$ 軸、および (2) で求めた接線によって囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求める。

$S(a) = \int_0^{\frac{1}{a}} (e^{a(x+1)} - ax - (a e^{1+a} - a)x ) dx$

$S(a) = \int_0^{\frac{1}{a}} (e^{a(x+1)} - a e^{1+a} x) dx$

$S(a) = [\frac{1}{a} e^{a(x+1)} - a e^{1+a} \frac{x^2}{2}]_0^{\frac{1}{a}}$

$S(a) = (\frac{1}{a} e^{a(\frac{1}{a}+1)} - a e^{1+a} \frac{1}{2a^2}) - (\frac{1}{a} e^a - 0) = \frac{1}{a} e^{1+a} - \frac{e^{1+a}}{2a} - \frac{1}{a} e^a = \frac{e^{1+a}}{2a} - \frac{e^a}{a} = \frac{e^a}{2a} (e - 2)$

(4) $S(a)$ の最小値を求める。

$S'(a) = \frac{(e^a)'}{2a}(e-2) + \frac{e^a}{2}(e-2)(-\frac{1}{a^2}) = \frac{e^a}{2a^2} (a-1)(e-2)$

$S'(a) = 0$ となるのは $a = 1$ のとき。

$0 < a < 1$ のとき $S'(a) < 0$ 。$a > 1$ のとき $S'(a) > 0$ 。

したがって、$a=1$ で $S(a)$ は最小値をとる。

$S(1) = \frac{e}{2} (e - 2) = \frac{e^2 - 2e}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $1+a$

(2) $y = (a e^{1+a} - a) x$

(3) $S(a) = \frac{e^a (e-2)}{2a}$

(4) $\frac{e^2 - 2e}{2}$