与えられた5つの無限級数について、それぞれの収束・発散を判定する。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} + \dots$ (3) $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + \dots$ (4) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots$ (5) $1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots$

1. 問題の内容

与えられた5つの無限級数について、それぞれの収束・発散を判定する。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} + \dots$

(3) $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + \dots$

(4) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots$

(5) $1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots$

2. 解き方の手順

(1)

分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{2n-1} + \sqrt{2n+1}} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{(2n+1) - (2n-1)} = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}$

部分和を考える。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2} = \frac{1}{2} [(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{2N+1} - \sqrt{2N-1})] = \frac{1}{2} (\sqrt{2N+1} - 1)$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2} (\sqrt{2N+1} - 1) = \infty$

(2)

一般項は $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+3}}$. 分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+3}} = \frac{\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1}}{(n+3) - (n+1)} = \frac{\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1}}{2}$

部分和を考える。

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1}}{2} = \frac{1}{2} [(\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{N+3} - \sqrt{N+1})] = \frac{1}{2} (\sqrt{N+3} + \sqrt{N+2} - \sqrt{3} - \sqrt{2})$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \infty$

(3)

一般項は $\frac{n+1}{2n+1}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1} = \frac{1}{2} \neq 0$. よって発散する。

(4)

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$S_N = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=2}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1}$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{N+1}) = \frac{1}{2}$

(5)

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.

一般項は $a_n = \frac{1}{\sum_{k=1}^{n} k} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} = 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$S_N = \sum_{n=1}^{N} 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 2 \sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 2 [(1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})] = 2(1 - \frac{1}{N+1})$

$\lim_{N \to \infty} S_N = 2(1 - 0) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散

(3) 発散

(4) 収束, $\frac{1}{2}$

(5) 収束, $2$