与えられた関数 $u(x,t) = \frac{1}{t^2} e^{-\frac{x^2}{2t}}$ に対して、二階偏微分 $u_{xx}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $u(x,t) = \frac{1}{t^2} e^{-\frac{x^2}{2t}}$ に対して、二階偏微分 $u_{xx}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u(x,t)$ を $x$ で一回偏微分します。

$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ を計算します。

次に、$u_x$ を $x$ でもう一回偏微分し、$u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ を計算します。

ステップ1: $u_x$ の計算

$u(x,t) = \frac{1}{t^2} e^{-\frac{x^2}{2t}}$ を $x$ で偏微分します。

$u_x = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{t^2} e^{-\frac{x^2}{2t}}\right) = \frac{1}{t^2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2t}} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x^2}{2t}\right) = \frac{1}{t^2} e^{-\frac{x^2}{2t}} \cdot \left(-\frac{2x}{2t}\right) = -\frac{x}{t^3} e^{-\frac{x^2}{2t}}$

ステップ2: $u_{xx}$ の計算

$u_x = -\frac{x}{t^3} e^{-\frac{x^2}{2t}}$ を $x$ で偏微分します。積の微分公式 $\frac{d}{dx}(fg) = f'g + fg'$ を利用します。

$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{x}{t^3} e^{-\frac{x^2}{2t}}\right) = -\frac{1}{t^3} \cdot e^{-\frac{x^2}{2t}} - \frac{x}{t^3} \cdot e^{-\frac{x^2}{2t}} \cdot \left(-\frac{2x}{2t}\right) = -\frac{1}{t^3} e^{-\frac{x^2}{2t}} + \frac{x^2}{t^4} e^{-\frac{x^2}{2t}} = \frac{-t + x^2}{t^4} e^{-\frac{x^2}{2t}} = \frac{x^2 - t}{t^4} e^{-\frac{x^2}{2t}}$

3. 最終的な答え

$u_{xx} = \frac{x^2 - t}{t^4} e^{-\frac{x^2}{2t}}$