無限等比級数 $$(x-4) + \frac{x(x-4)}{2x-4} + \frac{x^2(x-4)}{(2x-4)^2} + \dots$$ について、以下の問いに答える。ただし、$x \neq 2$とする。 (1) この無限等比級数が収束するような実数 $x$ の範囲を求めよ。 (2) (1)で求めた $x$ の範囲で、無限級数の和を $f(x)$ として、$y=f(x)$ のグラフをかけ。

1. 問題の内容

無限等比級数

$$(x-4) + \frac{x(x-4)}{2x-4} + \frac{x^2(x-4)}{(2x-4)^2} + \dots$$

について、以下の問いに答える。ただし、$x \neq 2$とする。

(1) この無限等比級数が収束するような実数 $x$ の範囲を求めよ。

(2) (1)で求めた $x$ の範囲で、無限級数の和を $f(x)$ として、$y=f(x)$ のグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) 無限等比級数が収束するための条件は、初項が0であるか、公比の絶対値が1より小さいことである。

この級数の初項は $x-4$、公比は $\frac{x}{2x-4}$ である。

初項が0の場合、$x-4 = 0$ より $x = 4$。

公比の絶対値が1より小さい場合、

$$|\frac{x}{2x-4}| < 1$$

$$-1 < \frac{x}{2x-4} < 1$$

まず、$\frac{x}{2x-4} < 1$ を解く。

$\frac{x}{2x-4} - 1 < 0$

$\frac{x - (2x - 4)}{2x-4} < 0$

$\frac{-x+4}{2x-4} < 0$

$\frac{x-4}{2x-4} > 0$

$\frac{x-4}{x-2} > 0$

したがって、$x < 2$ または $x > 4$。

次に、$-1 < \frac{x}{2x-4}$ を解く。

$0 < \frac{x}{2x-4} + 1$

$0 < \frac{x + (2x - 4)}{2x-4}$

$0 < \frac{3x - 4}{2x-4}$

$0 < \frac{3x-4}{x-2}$

したがって、$x < \frac{4}{3}$ または $x > 2$。

これらをまとめると、$x < \frac{4}{3}$ または $x > 4$。

$x=4$の場合も収束するので、実数 $x$ の範囲は $x < \frac{4}{3}$ または $x \geq 4$。

(2) 無限等比級数の和は、$f(x) = \frac{a}{1-r}$ で与えられる。ただし、$a$ は初項、$r$ は公比である。

$a = x-4$、 $r = \frac{x}{2x-4}$ より、

$$f(x) = \frac{x-4}{1-\frac{x}{2x-4}} = \frac{x-4}{\frac{2x-4-x}{2x-4}} = \frac{(x-4)(2x-4)}{x-4} = 2x-4$$

ただし、$x-4 \neq 0$、すなわち$x \neq 4$。$x=4$のときは、無限等比級数の和は0である。

したがって、$x < \frac{4}{3}$ または $x > 4$ のとき $f(x) = 2x-4$ であり、$x=4$のとき $f(x) = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x < \frac{4}{3}$ または $x \geq 4$

(2) $y = f(x) = \begin{cases} 2x-4 & (x < \frac{4}{3}, x > 4) \\ 0 & (x = 4) \end{cases}$

グラフは、$y = 2x-4$ の $x < \frac{4}{3}$ および $x > 4$ の部分と、点 $(4, 0)$。