以下の2つの級数の収束・発散を判定する。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$

1. 問題の内容

以下の2つの級数の収束・発散を判定する。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$

2. 解き方の手順

(1) 比判定法を用いる。

$a_n = \frac{2^n}{n!}$とする。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{2}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$なので、級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$は収束する。

(2) 比較判定法を用いる。

$a_n = \frac{n}{3^n+1}$とする。

$3^n+1 > 3^n$より、$a_n = \frac{n}{3^n+1} < \frac{n}{3^n}$である。

級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$が収束することを示す。

比判定法を用いる。

$b_n = \frac{n}{3^n}$とする。

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{3} < 1$なので、級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$は収束する。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$が収束し、$0 < \frac{n}{3^n+1} < \frac{n}{3^n}$なので、比較判定法より、級数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+1}$は収束する。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 収束