$xy$平面上に2つの曲線$C_1: y = x^2$と$C_2: y = x^2 - 4x + 5$がある。直線$l$は$C_1$と$C_2$に接している。 (1) 直線$l$の方程式を求めよ。 (2) $C_1$, $C_2$ および $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に2つの曲線$C_1: y = x^2$と$C_2: y = x^2 - 4x + 5$がある。直線$l$は$C_1$と$C_2$に接している。

(1) 直線$l$の方程式を求めよ。

(2) $C_1$, $C_2$ および $l$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 = ax + b$ すなわち $x^2 - ax - b = 0$ が重解を持つことである。判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-a)^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0$.

同様に、$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 4x + 5 = ax + b$ すなわち $x^2 - (4+a)x + (5-b) = 0$ が重解を持つことである。判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (4+a)^2 - 4(1)(5-b) = 16 + 8a + a^2 - 20 + 4b = a^2 + 8a + 4b - 4 = 0$.

$a^2 + 4b = 0$ と $a^2 + 8a + 4b - 4 = 0$ より、

$(a^2 + 8a + 4b - 4) - (a^2 + 4b) = 8a - 4 = 0$.

したがって、$a = \frac{1}{2}$.

$a^2 + 4b = 0$ に $a = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$(\frac{1}{2})^2 + 4b = 0$, $\frac{1}{4} + 4b = 0$, $4b = -\frac{1}{4}$, $b = -\frac{1}{16}$.

よって、直線 $l$ の方程式は $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{16}$.

(2) $C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標を $x_1$ とすると、$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 0$ より、$(x - \frac{1}{4})^2 = 0$ となり、$x_1 = \frac{1}{4}$.

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を $x_2$ とすると、$x^2 - (4+\frac{1}{2})x + (5+\frac{1}{16}) = 0$ より、$x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16} = 0$ となり、$(x - \frac{9}{4})^2 = 0$ より、$x_2 = \frac{9}{4}$.

求める面積を $S$ とすると、

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} (x^2 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}))dx - \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} (x^2 - 4x + 5 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}))dx$

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} (x^2 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}) - (x^2 - 4x + 5 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}))) dx$

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} (-(x^2 - 4x + 5) + x^2) dx$

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} (4x - 5) dx$

$S = [2x^2 - 5x]_{\frac{1}{4}}^{\frac{9}{4}} = 2(\frac{81}{16}) - 5(\frac{9}{4}) - (2(\frac{1}{16}) - 5(\frac{1}{4})) = \frac{81}{8} - \frac{45}{4} - \frac{1}{8} + \frac{5}{4} = \frac{80}{8} - \frac{40}{4} = 10 - 10 = 5$.

しかし、$C_1$ と $C_2$ の交点を求めると、$x^2 = x^2 - 4x + 5$ より、$4x = 5$, $x = \frac{5}{4}$. $C_2 - C_1 = x^2-4x+5 - x^2 = -4x+5$. $l-C_1= \frac{1}{2}x - \frac{1}{16}-x^2, l - C_2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{16}-x^2+4x-5$.

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{5}{4}} (x^2 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}))dx + \int_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}} (x^2 - 4x + 5 - (\frac{1}{2}x - \frac{1}{16}))dx$.

$S = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{5}{4}} (x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) dx + \int_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}} (x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16}) dx$.

$S = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{16}x]_{\frac{1}{4}}^{\frac{5}{4}} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{81}{16}x]_{\frac{5}{4}}^{\frac{9}{4}} = \frac{1}{3}(\frac{125}{64} - \frac{1}{64}) - \frac{1}{4}(\frac{25}{16} - \frac{1}{16}) + \frac{1}{16}(\frac{5}{4} - \frac{1}{4}) + \frac{1}{3}(\frac{729}{64} - \frac{125}{64}) - \frac{9}{4}(\frac{81}{16} - \frac{25}{16}) + \frac{81}{16}(\frac{9}{4} - \frac{5}{4})$.

$S = \frac{124}{192} - \frac{24}{64} + \frac{4}{64} + \frac{604}{192} - \frac{9}{4}(\frac{56}{16}) + \frac{81}{16} = \frac{728}{192} - \frac{21}{4} + \frac{81}{16}$.

$S = \frac{91}{24} - \frac{126}{24} + \frac{121.5}{24} = \frac{8}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{16}$

(2) $\frac{8}{3}$