無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a^{-n}$ の和を求める問題です。ただし、$a$ は $a > 1$ である定数であり、$|r| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ であることを利用してもよいです。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a^{-n}$ の和を求める問題です。ただし、$a$ は $a > 1$ である定数であり、$|r| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ であることを利用してもよいです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた級数を $S$ とおきます。

$S = \sum_{n=1}^{\infty} n a^{-n} = \frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \frac{3}{a^3} + \dots$

次に、$\frac{1}{a}$ 倍したものを考えます。

$\frac{1}{a}S = \sum_{n=1}^{\infty} n a^{-(n+1)} = \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a^3} + \frac{3}{a^4} + \dots$

$S$ から $\frac{1}{a}S$ を引くと、

$S - \frac{1}{a}S = \frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} - \frac{1}{a^2} + \frac{3}{a^3} - \frac{2}{a^3} + \frac{4}{a^4} - \frac{3}{a^4} + \dots$

$= \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4} + \dots$

$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^n}$

これは初項 $\frac{1}{a}$, 公比 $\frac{1}{a}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^n} = \frac{\frac{1}{a}}{1 - \frac{1}{a}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{a-1}{a}} = \frac{1}{a-1}$

したがって、

$S - \frac{1}{a}S = \frac{a-1}{a} S = \frac{1}{a-1}$

$S = \frac{a}{(a-1)^2}$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} n a^{-n} = \frac{a}{(a-1)^2}$