次の2つの級数が絶対収束することを示す問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$

1. 問題の内容

次の2つの級数が絶対収束することを示す問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$

2. 解き方の手順

(1) の級数について

絶対値を取ると、$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$となります。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$であることから、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1$

となり、絶対収束します。

(2) の級数について

$a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$ とおきます。

$\left| \sin \frac{n\pi}{12} \right| \le 1$ なので、

$\left| a_n \right| = \left| \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12} \right| \le \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ となります。

比の判定法を適用するため、$b_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ とおいて、

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(2n+1)2(n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)} = \frac{n+1}{4n+2}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n+2} = \frac{1}{4} < 1$

よって、$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ は収束します。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12} \right|$ も収束するため、与えられた級数は絶対収束します。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n(n+1)}$ は絶対収束する。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sin \frac{n\pi}{12}$ は絶対収束する。