与えられた極限を計算する問題です。2つの問題があります。 (1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{4i}{n^2+3}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n^2+3}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。2つの問題があります。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{4i}{n^2+3}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n^2+3}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、和を計算します。

$\sum_{i=1}^{n} \frac{4i}{n^2+3} = \frac{4}{n^2+3} \sum_{i=1}^{n} i$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{i=1}^{n} \frac{4i}{n^2+3} = \frac{4}{n^2+3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n(n+1)}{n^2+3} = \frac{2n^2+2n}{n^2+3}$

次に、極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+2n}{n^2+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n^2}} = \frac{2+0}{1+0} = 2$

(2)

まず、和を計算します。

$\sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n^2+3} = \frac{2}{n^2+3} \sum_{i=1}^{n} i$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{n^2+3} = \frac{2}{n^2+3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{n^2+3} = \frac{n^2+n}{n^2+3}$

次に、極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{n^2+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n^2}} = \frac{1+0}{1+0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1