与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} x \left( \arctan(x) - \frac{\pi}{2} \right)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} x \left( \arctan(x) - \frac{\pi}{2} \right)$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = 1/x$ と置換します。$x \to \infty$ のとき、$t \to 0$ です。

$\arctan(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{1}{x} \right)$

であることから、

$\lim_{x \to \infty} x \left( \arctan(x) - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(t) - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{-\arctan(t)}{t}$

となります。

$\arctan(t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開は、

$\arctan(t) = t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \dots$

であるため、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-(t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \dots)}{t} = \lim_{t \to 0} (-1 + \frac{t^2}{3} - \frac{t^4}{5} + \dots) = -1$

となります。

または、ロピタルの定理を使用することもできます。

$\lim_{t \to 0} \frac{-\arctan(t)}{t}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\arctan(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1+t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{1+t^2} = -1$

となります。

3. 最終的な答え

-1