写像 $f: X \rightarrow Y$ に関して、以下の4つの命題の真偽を判定し、真ならば証明し、偽ならば反例を挙げます。 (1) 任意の $P_1, P_2 \subset X$ に対して、$f(P_1 \cap P_2) = f(P_1) \cap f(P_2)$ (2) 任意の $Q_1, Q_2 \subset Y$ に対して、$f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$ (3) 任意の $P \subset X$ に対して、$f(X \setminus P) = Y \setminus f(P)$ (4) 任意の $Q \subset Y$ に対して、$f^{-1}(Y \setminus Q) = X \setminus f^{-1}(Q)$

1. 問題の内容

写像 $f: X \rightarrow Y$ に関して、以下の4つの命題の真偽を判定し、真ならば証明し、偽ならば反例を挙げます。

(1) 任意の $P_1, P_2 \subset X$ に対して、$f(P_1 \cap P_2) = f(P_1) \cap f(P_2)$

(2) 任意の $Q_1, Q_2 \subset Y$ に対して、$f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$

(3) 任意の $P \subset X$ に対して、$f(X \setminus P) = Y \setminus f(P)$

(4) 任意の $Q \subset Y$ に対して、$f^{-1}(Y \setminus Q) = X \setminus f^{-1}(Q)$

2. 解き方の手順

(1) $f(P_1 \cap P_2) \subset f(P_1) \cap f(P_2)$ は常に成り立ちます。なぜなら、$x \in P_1 \cap P_2$ ならば $x \in P_1$ かつ $x \in P_2$ であり、$f(x) \in f(P_1)$ かつ $f(x) \in f(P_2)$ なので、$f(x) \in f(P_1) \cap f(P_2)$ となるからです。しかし、$f(P_1) \cap f(P_2) \subset f(P_1 \cap P_2)$ は一般には成り立ちません。

反例：$X = \{1, 2\}$, $Y = \{3\}$, $f(1) = 3$, $f(2) = 3$, $P_1 = \{1\}$, $P_2 = \{2\}$とすると、$f(P_1) = \{3\}$, $f(P_2) = \{3\}$ なので、$f(P_1) \cap f(P_2) = \{3\}$ です。一方、$P_1 \cap P_2 = \emptyset$ なので、$f(P_1 \cap P_2) = \emptyset$ です。したがって、$f(P_1 \cap P_2) \neq f(P_1) \cap f(P_2)$ となります。

(2) $f^{-1}(Q_1 \cap Q_2) = f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$ は真です。

証明：$x \in f^{-1}(Q_1 \cap Q_2)$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \in Q_1 \cap Q_2$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \in Q_1$ かつ $f(x) \in Q_2$ $\Leftrightarrow$ $x \in f^{-1}(Q_1)$ かつ $x \in f^{-1}(Q_2)$ $\Leftrightarrow$ $x \in f^{-1}(Q_1) \cap f^{-1}(Q_2)$.

(3) $f(X \setminus P) = Y \setminus f(P)$ は一般には成り立ちません。$f(X \setminus P) \subset Y \setminus f(P)$ が成り立つためには $f$ が全射であることが必要です。

反例：$X = \{1, 2\}$, $Y = \{3, 4\}$, $f(1) = 3$, $f(2) = 3$, $P = \{1\}$とすると、$X \setminus P = \{2\}$ なので、$f(X \setminus P) = \{3\}$ です。一方、$f(P) = \{3\}$ なので、$Y \setminus f(P) = \{4\}$ です。したがって、$f(X \setminus P) \neq Y \setminus f(P)$ となります。

(4) $f^{-1}(Y \setminus Q) = X \setminus f^{-1}(Q)$ は真です。

証明：$x \in f^{-1}(Y \setminus Q)$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \in Y \setminus Q$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \in Y$ かつ $f(x) \notin Q$ $\Leftrightarrow$ $x \in X$ かつ $x \notin f^{-1}(Q)$ $\Leftrightarrow$ $x \in X \setminus f^{-1}(Q)$.

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 偽

(4) 真