関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ について、以下の問いに答えます。 (1) 合成関数の微分法を用いて、関数を微分します。 (2) $x$ を $y$ の式で表します。 (3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ について、以下の問いに答えます。

(1) 合成関数の微分法を用いて、関数を微分します。

(2) $x$ を $y$ の式で表します。

(3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を用いて微分する。

$y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$を微分します。

$u = x + \sqrt{x^2 - 1}$とおくと、$y = \log u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $x$ を $y$ の式で表す。

$y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ より、$e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$

$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - (x^2 - 1)} = x - \sqrt{x^2 - 1}$

よって、$e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$ かつ $e^{-y} = x - \sqrt{x^2 - 1}$

したがって、$e^y + e^{-y} = 2x$

$x = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh y$

(3) 逆関数の微分法を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求める。

(1)で$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$を求めた。

あるいは

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy} (\frac{e^y + e^{-y}}{2}) = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sinh y}$

$x = \cosh y$であるから、$x^2 = \cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$

$\sinh^2 y = x^2 - 1$

$\sinh y = \sqrt{x^2 - 1}$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $x = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh y$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$